Question

Доведіть нерівність 12а+10с-а²-с²-61≤0​ та, можете пояснити як ви її довели?

Answer 1

Отже, ми розглядаємо нерівність 12а+10с-а²-с²-61≤0. Для того, щоб довести цю нерівність, ми поділимо обидва її боки на а та с. Ми отримаємо: 12 + 10/a - a - c²/a - c² - 61/a ≤ 0. Тепер ми можемо придатно сплатити а з обох боків: 12 + 10 - 1 - c²/a - c² - 61/a ≤ 0. Зараз ми можемо придатно сплатити з обох боків с. Отримаємо: 12 + 10 - 1 - 1 - 61/a ≤ 0. Зараз ми можемо зважити обидва боки на /a, щоб залишити тільки незалежний від a вираз. Отримаємо: 12/a + 10/a - 1/a - 1 - 61 ≤ 0. Зараз ми можемо просумувати всі відрізняючіся терми з обох боків та отримаємо результат: 0 ≤ -50/a. Отже, якщо ми розв'язали цю нерівність відносно a, то отримаємо a ≥ 50.

Answer 2

Звичайно, звернемося до даної нерівності: \(12a + 10c - a^2 - c^2 - 61 \leq 0\).

Для того, щоб зрозуміти, як довести цю нерівність, спробуємо перетворити її у квадратичний вираз, щоб знайти умови, за яких вона буде виконуватися.

Запишемо нерівність так, щоб подальше перетворення було зручніше: \[a^2 + c^2 - 12a - 10c + 61 \geq 0.\]

Тепер спробуємо привести це до вигляду квадратичного виразу. Для цього скористаємось тим, що можна додати та відняти квадратичні члени у виразі так, щоб створити повний квадрат.

Спробуємо розбити \(a^2 - 12a\) та \(c^2 - 10c\) на квадратичні члени. Для \(a^2 - 12a\) потрібно додати і відняти квадратичний член \((12/2)^2 = 36\), а для \(c^2 - 10c\) - \((10/2)^2 = 25\):

\[a^2 - 12a = a^2 - 12a + 36 - 36 = (a - 6)^2 - 36,\] \[c^2 - 10c = c^2 - 10c + 25 - 25 = (c - 5)^2 - 25.\]

Тепер підставимо ці вирази у нашу початкову нерівність: \[(a - 6)^2 - 36 + (c - 5)^2 - 25 + 61 \geq 0,\] \[(a - 6)^2 + (c - 5)^2 = (a - 6)^2 + (c - 5)^2 + 0 \geq 0.\]

Отже, отримали квадратичний вираз у вигляді суми двох квадратів: \[ (a - 6)^2 + (c - 5)^2 \geq 0,\] що є правдою для будь-яких значень \(a\) та \(c\), оскільки квадрат будь-якого числа завжди не менше 0.

Отже, початкова нерівність \(12a + 10c - a^2 - c^2 - 61 \leq 0\) виконується для всіх значень \(a\) та \(c\).