Question

1) x² + 4x-21>0; 2) 3x² - 15x ≤0;​

Answer 1

Объяснение:

попыталась написать максимально аккуратно

Answer 2

Для решения неравенств с квадратными выражениями можно использовать метод интервалов. Давайте решим каждое неравенство по отдельности:

1) \(x^2 + 4x - 21 > 0\):

Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 4x - 21 = 0\). Мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 4\), и \(c = -21\).

\[D = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\]

Таким образом, \(D > 0\), и у уравнения есть два корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10}{2} = -7 \text{ или } 3\]

Теперь разбиваем числовую прямую на три интервала, используя найденные корни: \((- \infty, -7)\), \((-7, 3)\), и \((3, +\infty)\). Выбираем точку из каждого интервала и подставляем её в неравенство, чтобы определить знак выражения:

- Для интервала \((- \infty, -7)\) возьмем \(x = -8\). Получаем: \((-8)^2 + 4(-8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11\), что положительно. - Для интервала \((-7, 3)\) возьмем \(x = 0\). Получаем: \(0^2 + 4(0) - 21 = -21\), что отрицательно. - Для интервала \((3, +\infty)\) возьмем \(x = 4\). Получаем: \(4^2 + 4(4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11\), что положительно.

Итак, уравнение \(x^2 + 4x - 21 > 0\) верно для интервалов \((- \infty, -7) \cup (3, +\infty)\).

2) \(3x^2 - 15x \leq 0\):

Факторизуем выражение: \(3x(x - 5) \leq 0\). Корни уравнения \(3x(x - 5) = 0\) - \(x = 0\) и \(x = 5\).

Разбиваем числовую прямую на четыре интервала: \((- \infty, 0)\), \((0, 5)\), \((5, +\infty)\). Выбираем точку из каждого интервала и подставляем её в неравенство:

- Для интервала \((- \infty, 0)\) возьмем \(x = -1\). Получаем: \(3(-1)(-1 - 5) = 18\), что положительно. - Для интервала \((0, 5)\) возьмем \(x = 3\). Получаем: \(3(3)(3 - 5) = -18\), что отрицательно. - Для интервала \((5, +\infty)\) возьмем \(x = 6\). Получаем: \(3(6)(6 - 5) = 18\), что положительно.

Итак, уравнение \(3x^2 - 15x \leq 0\) верно для интервалов \((- \infty, 0] \cup [5, +\infty)\).

Таким образом, решение системы неравенств будет объединением решений обоих уравнений:

\[x \in (-\infty, -7) \cup [5, +\infty)\]