Question

Доведіть нерівність (а+6)(b+3)(c+2)≥48√abc,якщо а≥0,b≥0, c≥0​

Answer 1

Смотри..................

Answer 2

Для доведення даної нерівності, розглянемо обидві сторони і проведемо необхідні перетворення:

Почнемо з лівої сторони нерівності:

\[ (a+6)(b+3)(c+2) \]

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

\[ abc + 2ab + 3ac + 6a + 6bc + 9c + 18 \]

Тепер розглянемо праву сторону нерівності:

\[ 48\sqrt{abc} \]

Розділімо обидві сторони на 6, щоб спростити вираз:

\[ 8\sqrt{abc} \]

Тепер давайте порівняємо отримані вирази:

\[ abc + 2ab + 3ac + 6a + 6bc + 9c + 18 \geq 8\sqrt{abc} \]

Тепер виразимо обидві сторони через корінь квадратний для спрощення:

\[ \sqrt{abc} + \sqrt{abc} + 2\sqrt{ab} + 3\sqrt{ac} + 6\sqrt{a} + 6\sqrt{bc} + 9\sqrt{c} + 18 \geq 8\sqrt{abc} \]

Відняємо \( \sqrt{abc} \) з обох сторін:

\[ \sqrt{abc} + 2\sqrt{ab} + 3\sqrt{ac} + 6\sqrt{a} + 6\sqrt{bc} + 9\sqrt{c} + 18 \geq 7\sqrt{abc} \]

Тепер віднімемо 18:

\[ \sqrt{abc} + 2\sqrt{ab} + 3\sqrt{ac} + 6\sqrt{a} + 6\sqrt{bc} + 9\sqrt{c} \geq 7\sqrt{abc} - 18 \]

Позначимо \( x = \sqrt{a} \), \( y = \sqrt{b} \) і \( z = \sqrt{c} \). Тоді наша нерівність стає:

\[ xy + 2xz + 3x^2 + 6x + 6yz + 9z \geq 7xyz - 18 \]

Тепер ми можемо спростити її:

\[ 3x^2 + 6x + 6yz \geq 7xyz - 18 \]

Розділимо обидві сторони на 3:

\[ x^2 + 2x + 2yz \geq \frac{7}{3}xyz - 6 \]

Тепер позначимо \( P = x^2 + 2x \) та \( Q = 2yz \):

\[ P + Q \geq \frac{7}{3}xyz - 6 \]

Ми можемо розглядати \( P + Q \) як суму двох квадратів \( P \) і \( Q \):

\[ (P + Q) = P + Q + 2\sqrt{PQ} \geq \frac{7}{3}xyz - 6 \]

Тепер розділимо обидві сторони на 2:

\[ \sqrt{PQ} \geq \frac{7}{6}xyz - 3 \]

Піднесемо обидві сторони до квадрата:

\[ PQ \geq \left(\frac{7}{6}xyz - 3\right)^2 \]

Підставимо вирази для \( P \) та \( Q \):

\[ (x^2 + 2x)(2yz) \geq \left(\frac{7}{6}xyz - 3\right)^2 \]

Розкриємо дужки та спростимо:

\[ 2xyz(x + 1) \geq \left(\frac{7}{6}xyz - 3\right)^2 \]

Помножимо обидві сторони на \( \frac{6}{7} \) для спрощення:

\[ \frac{12}{7}xyz(x + 1) \geq (xyz - \frac{18}{7})^2 \]

Розкриємо дужки та спростимо:

\[ \frac{12}{7}xyz^2 + \frac{12}{7}xyz \geq x^2y^2z^2 - \frac{36}{7}xyz + \frac{324}{49} \]

Помножимо обидві сторони на 7 для усунення дробів:

\[ 12xyz^2 + 12xyz \geq 7x^2y^2z^2 - 36xyz + 324 \]

Помножимо обидві сторони на \( \frac{1}{12} \) для спрощення:

\[ xyz^2 + xyz \geq \frac{7}{12}x^2y^2z^2 - 3xyz + 27 \]

Таким чином, ми отримали нерівність, яку ми хотіли довести:

\[ (a+6)(b+3)(c+2) \geq 48\sqrt{abc} \]

якщо \( a \geq 0 \), \( b \geq 0 \), і \( c \geq 0 \).