Question

Відомо, що 9a² - 4b² = 8 Знайдіть 3a + 2b =?, якщо 3a - 2b = 4.

Answer 1

Можна скористатись системою рівнянь, де перше рівняння буде 9a² - 4b² = 8, а друге - 3a - 2b = 4.

З другого рівняння можна виразити 2b як 3a - 4 і підставити в перше рівняння:

9a² - 4b² = 8

9a² - 4(3a - 4)² = 8

9a² - 4(9a² - 24a + 16) = 8

9a² - 36a² + 96a - 64 = 8

-27a² + 96a - 72 = 0

-3a² + 11a - 8 = 0

Тепер можна розв'язати квадратне рівняння, наприклад, за допомогою формули коренів квадратного рівняння:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Тоді a = (-11 ± √(11² - 4(-3)(-8))) / 2(-3) = (-11 ± 5) / (-6) = 1 або 8/3.

Якщо a = 1, то 3a + 2b = 3 + 2b = 4, тому 2b = 1 і b = 1/2. Отже, 3a + 2b = 3 + 1 = 4.

Якщо a = 8/3, то 3a + 2b = 3(8/3) + 2b = 8 + 2b = 4, тому 2b = -4 і b = -2. Отже, 3a + 2b = 3(8/3) - 4 = 0.

Таким чином, можна знайти два рішення для 3a + 2b: 4 і 0.

Answer 2

Для розв'язання цієї системи рівнянь ми можемо скористатися методом елімінації. Давайте розглянемо дану систему рівнянь:

1. \(9a^2 - 4b^2 = 8\) 2. \(3a - 2b = 4\)

Спочатку подивимося на перше рівняння. Воно має вигляд різниці квадратів: \(a^2 - b^2 = (3a)^2 - (2b)^2\). Таким чином, ми можемо переписати перше рівняння так:

\[(3a)^2 - (2b)^2 = 8\]

Тепер ми можемо використовувати формулу різниці квадратів: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Застосуємо цю формулу до лівої частини рівняння:

\[(3a + 2b)(3a - 2b) = 8\]

Тепер ми маємо додаткове рівняння, яке ми можемо використати. Друге рівняння нам теж знадобиться:

\[3a - 2b = 4\]

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Множимо обидва боки другого рівняння на 2 і додаємо його до новоутвореного рівняння:

\[2(3a - 2b) + (3a + 2b) = 8\]

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

\[6a - 4b + 3a + 2b = 8\]

Об'єднуємо подібні члени:

\[9a - 2b = 8\]

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

1. \((3a + 2b)(3a - 2b) = 8\) 2. \(9a - 2b = 8\)

З першого рівняння ми можемо виразити \(3a + 2b\):

\[3a + 2b = \frac{8}{3a - 2b}\]

Тепер підставимо це значення у друге рівняння:

\[\frac{8}{3a - 2b} = 9a - 2b\]

Переносимо все в одну сторону:

\[8 = (9a - 2b)(3a - 2b)\]

Розкриваємо множення:

\[8 = 27a^2 - 4b^2\]

Тепер ми можемо використати початкове рівняння \(9a^2 - 4b^2 = 8\), оскільки воно тотожно рівне новоутвореному рівнянню. Таким чином, наше вираження \(3a + 2b\) буде:

\[3a + 2b = \frac{8}{3a - 2b}\]

Отже, \(3a + 2b\) дорівнює \(\frac{8}{3a - 2b}\).