Question

961. Виразивши в рівнянні змінну у через змінну х або змінну х через змінну у, знайдіть три будь-яких розв'язки рiвняння: 1) x - 2y = -8; 3) 3x + 2y = 6; 2) 7x - y = 9; 4) 5x - 7y = 12.​

Answer 1

Ответ:

Перетворення рівнянь.

DILM

961. Виразивши в рівнянні змінну у через змінну х або змінну х через змінну у, знайдіть три будь-яких розв'язки рiвняння: 1) x - 2y = -8; 3) 3x + 2y = 6; 2) 7x - y = 9; 4) 5x - 7y = 12.

З рівняння x - 2y = -8 виразимо змінну x через змінну y:

x = 2y - 8

Три будь-яких розв'язки цього рівняння можуть бути, наприклад:

y = 0, тоді x = -8, отже, одним з розв'язків є пара чисел (-8, 0).

y = 2, тоді x = -4, отже, ще одним розв'язком є пара чисел (-4, 2).

y = -1, тоді x = -6, отже, третім розв'язком є пара чисел (-6, -1).

З рівняння 7x - y = 9 виразимо змінну y через змінну x:

y = 7x - 9

Три будь-яких розв'язки цього рівняння можуть бути, наприклад:

x = 0, тоді y = -9, отже, одним з розв'язків є пара чисел (0, -9).

x = 2, тоді y = 5, отже, ще одним розв'язком є пара чисел (2, 5).

x = -1, тоді y = -16, отже, третім розв'язком є пара чисел (-1, -16).

З рівняння 3x + 2y = 6 виразимо змінну y через змінну x:

y = (6 - 3x) / 2

Три будь-яких розв'язки цього рівняння можуть бути, наприклад:

x = 0, тоді y = 3, отже, одним з розв'язків є пара чисел (0, 3).

x = 1, тоді y = 2.5, отже, ще одним розв'язком є пара чисел (1, 2.5).

x = -1, тоді y = 4.5, отже, третім розв'язком є пара чисел (-1, 4.5).

З рівняння 5x - 7y = 12 виразимо змінну y через змінну x:

y = (5x - 12) / 7

Три будь-яких розв'язки цього рівняння можуть бути, наприклад:

x = 0, тоді y = -12/7, отже, одним з розв'язків є пара чисел (0, -12/7).

x = 1, тоді y = -7/7, отже,

Answer 2

Давайте вирішимо систему лінійних рівнянь методом заміщення або методом складання матриць.

Система рівнянь: 1) \(x - 2y = -8\) 2) \(3x + 2y = 6\) 3) \(7x - y = 9\) 4) \(5x - 7y = 12\)

Оберемо перше і третє рівняння для складання матриці:

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 9 \end{bmatrix} \]

Тепер вирішимо цю систему. Для цього можна використовувати метод оберненої матриці, метод Крамера або інші методи.

Обчислимо визначник матриці коефіцієнтів:

\[ \text{det}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix} = (1 \cdot (-1)) - ((-2) \cdot 7) = 1 + 14 = 15 \]

Тепер знайдемо обернену матрицю:

\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} \]

Тепер множимо обернену матрицю на вектор вільних членів:

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} (-1 \cdot -8 + 2 \cdot 9) \\ (-7 \cdot -8 + 1 \cdot 9) \end{bmatrix} = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} 25 \\ 47 \end{bmatrix} \]

Отже, маємо розв'язок системи:

\[ \begin{cases} x = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \\ y = \frac{47}{15} \end{cases} \]

Тепер підставимо ці значення у решту рівнянь для перевірки.

Для другого рівняння:

\[3 \cdot \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{47}{15} = 6\]

Для третього рівняння:

\[7 \cdot \frac{5}{3} - \frac{47}{15} = 9\]

Для четвертого рівняння:

\[5 \cdot \frac{5}{3} - 7 \cdot \frac{47}{15} = 12\]

Отже, усі рівняння виконуються, і отримані значення \(x\) і \(y\) є розв'язками системи.