Question

Знайдіть проміжки спадання функції у=х^2/ln x З детальним рішенням

Answer 1

Відповідь:

Щоб знайти проміжки спадання функції у=х^2/ln x, потрібно взяти похідну від цієї функції та знайти її нулі та точки розриву.

y' = (2x*ln x - x^2) / ln^2 x

Нулі похідної:

2x*ln x - x^2 = 0

x(2ln x - x) = 0

Отже, x=0 або 2ln x - x = 0.

Перша рівність дає x=0, але це не можливе, оскільки вихідна функція не визначена в точці х=0.

Друга рівність може бути розв'язана чисельним методом, таким як метод дихотомії або метод Ньютона. Але ми можемо приблизно знайти корені графічно. Зобразимо на графіку функцію y=x та функцію y=2ln x та знайдемо точки їх перетину.


Отже, другий нуль похідної знаходиться в проміжку (4,5).

Точки розриву:

Помітимо, що у = х^2/ln x не визначена в точках х=1 та х=e. Тому ці точки є точками розриву функції.

Отже, проміжки спадання функції у=х^2/ln x:

(0,1), (1,e), (4,5)

Пояснення:

Answer 2

Пошук проміжків спадання функції у = (х^2)/(ln(x))

Щоб знайти проміжки спадання функції у = (х^2)/(ln(x)), ми повинні визначити похідну цієї функції та знайти її точки перегину та нулі.

1. Визначення похідної: Похідна функції у = (х^2)/(ln(x)) може бути обчислена за допомогою правила диференціювання часткових похідних. Застосуємо правило диференціювання часткових похідних до кожного члена функції та обчислимо похідну:

у' = (2х * ln(x) - х^2 * (1/x))/(ln(x))^2

2. Знаходження точок перегину: Щоб знайти точки перегину, ми повинні вирішити рівняння у'' = 0. Обчислимо другу похідну функції:

у'' = (2 * ln(x) - 2 * х * (1/x) - 2 * х * (1/x) + 2 * х^2 * (1/x^2))/(ln(x))^2

Спростимо це рівняння:

у'' = (2 * ln(x) - 4/x + 2 * х^2/x^2)/(ln(x))^2

Прирівняємо це рівняння до нуля та розв'яжемо його:

(2 * ln(x) - 4/x + 2 * х^2/x^2)/(ln(x))^2 = 0

Знайдемо спільний знаменник та спростимо рівняння:

2 * ln(x) - 4/x + 2 * х^2/x^2 = 0

Знаменником є (ln(x))^2, тому ми можемо помножити обидві сторони на (ln(x))^2, щоб позбутися від знаменника:

2 * ln(x) * (ln(x))^2 - 4/x * (ln(x))^2 + 2 * х^2/x^2 * (ln(x))^2 = 0

Згрупуємо члени:

2 * (ln(x))^3 - 4 * ln(x) + 2 * х^2 * ln(x) = 0

Це рівняння не має простого аналітичного розв'язку, тому ми не можемо знайти точки перегину аналітично.

3. Знаходження нулів: Щоб знайти нулі функції, ми повинні вирішити рівняння у = 0. Підставимо у = 0 у вихідне рівняння та розв'яжемо його:

(х^2)/(ln(x)) = 0

Це рівняння має один нуль: х = 0.

4. Визначення проміжків спадання: Щоб визначити проміжки спадання функції, ми можемо скористатися знанням про знак похідної функції. Знак похідної може змінюватися на проміжках, де похідна дорівнює нулю або не існує. Зауважте, що ми не знайшли точки перегину аналітично, тому ми не можемо використовувати їх для визначення проміжків спадання.

Оскільки ми знайшли, що х = 0 є нулем функції, ми можемо використати цю інформацію для визначення проміжків спадання. Зауважте, що функція у = (х^2)/(ln(x)) визначена для x > 0, тому ми можемо розглядати лише додатні значення х.

Якщо ми розглянемо значення х < 0, ми отримаємо від'ємні значення функції. Тому проміжком спадання буде (0, +∞).

Висновок:

Функція у = (х^2)/(ln(x)) має проміжок спадання (0, +∞).