Question

Моторний човен пройшов 7 км за течією річки і 10 км проти течії, затративши на шлях за течією на 2 год менше, ніж на шлях проти течії. Власна швидкість човна дорівнює 12км/год. Знайдіть швидкість човна проти течії річки.

Answer 1

Ответ:

Обозначим скорость течения реки как v, тогда скорость моторного човна по течению будет 12+v, а против течения 12-v.

Из условия задачи мы знаем, что время, затраченное на путь по течению, на 2 часа меньше времени на путь против течения. Обозначим время на путь по течению как t1, а на путь против течения как t2. Тогда:

t1 = 7 / (12+v)

t2 = 10 / (12-v)

t1 - t2 = 2

Подставляя выражения для t1 и t2, получаем:

7 / (12+v) - 10 / (12-v) = 2

Решая это уравнение, найдем значение v:

v = 2 км/ч

Ответ: швидкість човна проти течії річки дорівнює 10 - 2 = 8 км/год.

Answer 2

Нехай \( V_r \) - це швидкість течії річки, \( V_c \) - швидкість човна в стоячій воді (власна швидкість човна), і \( V_{ct} \) - швидкість човна проти течії. Тоді швидкість човна за течією буде \( V_{cr} = V_c + V_r \).

За час, який моторний човен пройшов за течією річки, відстань рівна 7 км, і час цього руху буде \( t_r \). За течією річки відстань рівна швидкість на час, тобто \( 7 = (V_c + V_r) \cdot t_r \).

За час, який човен пройшов проти течії, відстань рівна 10 км, і час цього руху буде \( t_{ct} \). Проти течії річки відстань рівна швидкість на час, тобто \( 10 = (V_c - V_{ct}) \cdot t_{ct} \).

Згідно умови, час за течією менший на 2 години, тобто \( t_r = t_{ct} - 2 \).

Ми знаємо, що власна швидкість човна \( V_c = 12 \) км/год.

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь:

1. \( 7 = (12 + V_r) \cdot t_r \) 2. \( 10 = (12 - V_{ct}) \cdot t_{ct} \) 3. \( t_r = t_{ct} - 2 \)

Підставимо \( t_r = t_{ct} - 2 \) у перше рівняння:

\[ 7 = (12 + V_r) \cdot (t_{ct} - 2) \]

Розкриємо дужки і спростимо:

\[ 7 = 12t_{ct} - 24 + V_r \cdot t_{ct} - 2V_r \]

Підставимо значення \( t_r \) з умови \( t_r = t_{ct} - 2 \):

\[ 7 = 12(t_{ct} - 2) - 24 + V_r \cdot (t_{ct} - 2) - 2V_r \]

Розкриємо дужки і спростимо:

\[ 7 = 12t_{ct} - 24 - 24 + V_r \cdot t_{ct} - 2V_r \]

Підсумуємо подібні члени:

\[ 7 = 13t_{ct} - 2V_r - 48 \]

Тепер розглянемо друге рівняння:

\[ 10 = (12 - V_{ct}) \cdot t_{ct} \]

Розкриємо дужки і спростимо:

\[ 10 = 12t_{ct} - V_{ct} \cdot t_{ct} \]

Підставимо значення \( V_{ct} = V_c - V_r \):

\[ 10 = 12t_{ct} - (12 - V_r) \cdot t_{ct} \]

Розкриємо дужки і спростимо:

\[ 10 = 12t_{ct} - 12t_{ct} + V_r \cdot t_{ct} \]

Спростимо:

\[ 10 = V_r \cdot t_{ct} \]

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Подамо друге рівняння у вигляді \( t_{ct} \):

\[ t_{ct} = \frac{10}{V_r} \]

Підставимо це значення у перше рівняння:

\[ 7 = 13t_{ct} - 2V_r - 48 \]

Підставимо \( t_{ct} = \frac{10}{V_r} \):

\[ 7 = 13 \cdot \frac{10}{V_r} - 2V_r - 48 \]

Помножимо обидві сторони на \( V_r \):

\[ 7V_r = 130 - 2V_r^2 - 48V_r \]

Приведемо рівняння до квадратного вигляду:

\[ 2V_r^2 - 55V_r + 130 = 0 \]

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

\[ V_r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У цьому випадку \( a = 2 \), \( b = -55 \), і \( c = 130 \). Підставимо ці значення:

\[ V_r = \frac{55 \pm \sqrt{(-55)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 130}}{2 \cdot 2} \]

\[ V_r = \frac{55 \pm \sqrt{3025 - 1040}}{4} \]

\[ V_r = \frac{55 \pm \sqrt{1985}}{4} \]

Таким чином, є два можливих значення для \( V_r \):

\[ V_r = \frac{55 + \sqrt{1985}}{4} \approx 13.46 \, \text{км/год} \]

або

\[ V_r = \frac{55 - \sqrt{1985}}{4} \approx 6.54 \, \text{км/год} \]

Отже, швидкість човна проти течії річки може бути близько 13.46 км/