Question

Решите неравенство методом интервалаа) (х+6)(х²-4)≤0б) (х-7)(х-4)³(х+2)²<0​

Answer 1

Ответ:

Ответ: (-∞,-6] ∪ [-2,2]

Ответ: (-∞,-2) ∪ (4,7)

Объяснение:

а) Для решения данного неравенства методом интервала необходимо найти корни уравнения (x+6)(x²-4)=0 и построить соответствующую числовую прямую.

(x+6)(x²-4) = (x+6)(x+2)(x-2) ≤ 0

Получаем три корня: -6, -2, 2. Запишем их на числовой прямой и построим интервалы, соответствующие знакам множителей.

 -          -2          2         -6

 |-----------|-----------|-----------|

 -     0     +     -     0     +     -

Ответ: (-∞,-6] ∪ [-2,2]

б) Для решения данного неравенства методом интервала необходимо найти корни уравнения (x-7)(x-4)³(x+2)²=0 и построить соответствующую числовую прямую.

(x-7)(x-4)³(x+2)² < 0

Получаем четыре корня: -2, 4, 7. Запишем их на числовой прямой и построим интервалы, соответствующие знакам множителей.

 -          -2          4          7

 |-----------|-----------|-----------|

 -     0     +     -      0     -     +

Ответ: (-∞,-2) ∪ (4,7)

Answer 2

а) Начнем с определения знака каждого множителя:

- (x+6) положительный при x > -6 и отрицательный при x < -6

- (x²-4) положительный при x < -2 или x > 2 и отрицательный при -2 < x < 2

Далее составим таблицу знаков:

|x+6| |x²-4| (x+6)(x²-4)

+ + +

+ - -

- + -

- - +

Таким образом, решением неравенства является интервал (-6, -2] объединенный с [2, ∞).

б) Аналогично определяем знак каждого множителя:

- (x-7) положительный при x > 7 и отрицательный при x < 7

- (x-4)³ положительный при x > 4 и отрицательный при x < 4

- (x+2)² положительный при x > -2 и отрицательный при x < -2

Составляем таблицу знаков:

|x-7| |x-4| |x+2| (x-7)(x-4)³(x+2)²

+ + + +

+ - + -

- + + -

- - + +

- - - -

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, -2] объединенный с [4, 7].

Answer 3

Для решения неравенств методом интервалов, нужно разложить выражение на множители и проанализировать знаки каждого множителя на разных интервалах. Давайте решим каждое неравенство по очереди.

а) (х + 6)(х² - 4) ≤ 0

Сначала найдем значения х, при которых каждый множитель равен нулю:

1. Первый множитель: х + 6 = 0 Решая это уравнение, получаем х = -6.

2. Второй множитель: х² - 4 = 0 Разложим это уравнение на множители: (х - 2)(х + 2) = 0 Решая уравнение, получаем два значения х: х = 2 и х = -2.

Теперь, построим таблицу знаков для каждого множителя и определим знак выражения (х + 6)(х² - 4) на разных интервалах:

| Интервал | х + 6 | х² - 4 | (х + 6)(х² - 4) | |--------------|---------|----------|-----------------| | х < -6 | - | + | - | | -6 < х < -2 | - | - | + | | -2 < х < 2 | - | + | - | | х > 2 | + | + | + |

Из таблицы видно, что неравенство (х + 6)(х² - 4) ≤ 0 выполняется в интервалах -6 ≤ х ≤ -2 и 2 ≤ х.

б) (х - 7)(х - 4)³(х + 2)² < 0

Аналогично, найдем значения х, при которых каждый множитель равен нулю:

1. Первый множитель: х - 7 = 0 Решая это уравнение, получаем х = 7.

2. Второй множитель: х - 4 = 0 Решая это уравнение, получаем х = 4.

3. Третий множитель: х + 2 = 0 Решая это уравнение, получаем х = -2.

Теперь, построим таблицу знаков для каждого множителя и определим знак выражения (х - 7)(х - 4)³(х + 2)² на разных интервалах:

| Интервал | х - 7 | х - 4 | х + 2 | (х - 7)(х - 4)³(х + 2)² | |--------------|-------|-------|-------|-------------------------| | х < -2 | - | - | - | - | | -2 < х < 4 | - | - | + | + | | 4 < х < 7 | - | + | + | - | | х > 7 | + | + | + | + |

Из таблицы видно, что неравенство (х - 7)(х - 4)³(х + 2)² < 0 выполняется в интервалах -2 < х < 4 и 7 < х.

Таким образом, решением первого неравенства является -6 ≤ х ≤ -2 и 2 ≤ х, а решением второго неравенства является -2 < х < 4 и 7 < х.