Question

ТЕРМІНОВО!!! Знайдіть критичні точки функції: f(x)=x²-5x/x+4

Answer 1

Для того чтобы найти критические точки функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:

f(x) = x² - 5x / (x + 4)

f'(x) = (2x - 5(x + 4)) / (x + 4)²

f'(x) = (2x - 5x - 20) / (x + 4)²

f'(x) = (-3x - 20) / (x + 4)²

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

(-3x - 20) / (x + 4)² = 0

-3x - 20 = 0

-3x = 20

x = -20/3

Таким образом, единственная критическая точка функции f(x) равна x = -20/3.

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції \( f(x) = \frac{x^2 - 5x}{x + 4} \), спершу треба знайти похідну цієї функції за змінною \( x \) і прирівняти її до нуля. Критичні точки виникають тоді, коли похідна дорівнює нулю або не існує.

1. Запишемо задану функцію: \[ f(x) = \frac{x^2 - 5x}{x + 4} \]

2. Знайдемо похідну за змінною \( x \). Для цього скористаємося правилом часткового диференціювання: \[ f'(x) = \frac{(x + 4) \cdot (2x - 5) - (x^2 - 5x) \cdot 1}{(x + 4)^2} \]

Поширимо чисельник і скоротимо спільні множники: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 5x + 8x - 20 - x^2 + 5x}{(x + 4)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 3x - 20}{(x + 4)^2} \]

3. Прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння: \[ x^2 + 3x - 20 = 0 \]

Розв'язок цього квадратного рівняння можна знайти за допомогою факторизації або використовуючи квадратне рівняння.

Факторизація: \((x + 5)(x - 4) = 0\)

Отже, \( x = -5 \) або \( x = 4 \).

4. Перевіримо другу похідну для визначення характеру критичної точки: \[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^2 + 3x - 20}{(x + 4)^2}\right) \]

Розрахуємо похідну та підставимо значення \( x \): \[ f''(x) = \frac{(x + 4)^2 \cdot (2x + 3) - (x^2 + 3x - 20) \cdot 2 \cdot (x + 4)}{(x + 4)^4} \]

Спростимо вираз та підставимо значення \( x = -5 \) та \( x = 4 \).

5. Визначимо характер критичних точок: - Якщо \( f''(x) > 0 \), то точка є точкою мінімуму. - Якщо \( f''(x) < 0 \), то точка є точкою максимуму. - Якщо \( f''(x) = 0 \), то тест не визначає характер точки.

Підставимо значення \( x = -5 \) та \( x = 4 \) у другу похідну та визначимо характер критичних точок.

Цей процес дозволить вам знайти критичні точки та визначити їх характер. Будь ласка, виконайте обчислення, і я готовий допомогти у разі потреби.