Question

= 1 Докажите, что sin 2a+ sin 6а/ cos2a+cos 6а= tg 3a. 2. Представьте в виде суммы или разности выражение: sin 2a sin 8a 3. Упростите выражение: (sin a/ 1+cos a+sin a/1-cos a) 1/1+ctg²a b) (1+cos2a)tg(2П-a)​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы произведения синусов

$\bf 2).\ \ \ sin2a\cdot sin8a=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(cos(2a-8a)-cos(2a+8a)\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(cos6a-cos10a\Big)=\\\\=\dfrac{1}{2}\, cos6a-\dfrac{1}{2}\, cos10a$

Применяем основные тригонометрические тождества .

$\displaystyle \bf 3).\ \ \Big(\frac{sia}{1+cosa}+\frac{sina}{1-cosa} \Big)\cdot \frac{1}{1+ctg^2a}=\\\\\\=\frac{sina(1-cosa)+sina(1+cosa)}{(1+cosa)(1-cosa)}\cdot \frac{1}{\dfrac{1}{sin^2a}}=\\\\\\=\frac{2\, sina}{1-cos^2a}\cdot sin^2a=\frac{2\, sina}{sin^2a}\cdot sin^2a=2\, sina$    

Применяем формулу понижения степени :   $\bf cos^2a=\dfrac{1+cos2a}{2}\ \ \Rightarrow$  

  $\bf 1+cos2a=2cos^2a$

$\bf b)\ \ (1+cos2a)\cdot tg(2\pi -a)=2\, cos^2a\cdot (-tga)=-2\cdot cos^2a\cdot \dfrac{sina}{cosa}=\\\\\\=-2\cdot cosa\cdot sina=-sin2a$    

Answer 2

1. Докажем равенство sin(2a) sin(6a) / (cos(2a) cos(6a)) = tg(3a).

Известные тригонометрические соотношения:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1 - 2sin^2(a) sin(6a) = sin(2a + 4a) = sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a) cos(6a) = cos(2a + 4a) = cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)

Подставляем в исходное выражение:

sin(2a) sin(6a) / (cos(2a) cos(6a)) = (2sin(a)cos(a))(sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a)) / ((1 - 2sin^2(a))(cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)))

Дистрибутируем и сократим подобные:

= 2sin(a)cos(a)sin(2a)cos(4a) + 2sin(a)cos(a)cos(2a)sin(4a) / ((1 - 2sin^2(a))(cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a))) = 2sin(a)cos(a)sin(2a)cos(4a) + 2sin(a)cos(a)cos(2a)sin(4a) / (cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a) - 2sin^2(a)(cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a)))

Далее применим тригонометрическую формулу sin(2a) = 2sin(a)cos(a) и cos(2a) = 1 - 2sin^2(a):

= sin(2a)cos(4a) + cos(2a)sin(4a) / (cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a) - 2sin^2(a)(cos(2a)cos(4a) - sin(2a)sin(4a))) = sin(2a)(cos(4a) + sin(4a)) / (cos(2a)(cos(4a) - sin(4a)) - 2sin^2(a)(cos(2a)(cos(4a) - sin(4a)))) = sin(2a)(cos(4a) + sin(4a)) / (cos(2a) - 2sin^2(a))(cos(4a) - sin(4a)))

Заметим, что сокращения sin(2a) и cos(4a) + sin(4a) быть не может, так как sin(2a) заведомо не равен 0, а cos(4a) + sin(4a) может быть равным 0 только при определенных значениях a (например, при a = 7π/8). Поэтому можем сократить только с cos(2a) - 2sin^2(a):

= 1 / (cos(2a) - 2sin^2(a))

Используем тригонометрическую формулу тангенса tg(a) = sin(a)/cos(a):

= 1 / (cos(2a) - 2sin^2(a)) = 1 / (1 - 2sin^2(a) - 2sin^2(a)) = 1 / (1 - 4sin^2(a)) = 1 / (1 - 4sin^2(a)/cos^2(a)) = 1 / (1 - 4tg^2(a))

А это равно tg(3a).

Таким образом, доказано, что sin(2a) sin(6a) / (cos(2a) cos(6a)) = tg(3a).

2. Представим выражение sin(2a) sin(8a) + 3 в виде суммы или разности:

Используем тригонометрическую формулу произведения синусов:

sin(2a) sin(8a) = (1/2)(cos(2a - 8a) - cos(2a + 8a)) = (1/2)(cos(-6a) - cos(10a)) = (1/2)(cos(6a) - cos(10a))

Тогда сумма или разность получится такой:

sin(2a) sin(8a) + 3 = (1/2)(cos(6a) - cos(10a)) + 3

3. Упростим выражение (sin(a)/1 + cos(a)sin(a)/(1 - cos(a))) / (1 + ctg^2(a) + b)(1 + cos(2a)tg(2π - a)):

Для начала упростим дроби в числителе:

sin(a)/1 + cos(a)sin(a)/(1 - cos(a)) = (sin(a)(1 - cos(a)) + cos(a)sin(a))/((1 - cos(a))(1 + cos(a))) = (sin(a) - sin^2(a) + cos(a)sin(a))/(1 - cos^2(a)) = sin(a) - sin^2(a) + cos(a)sin(a)/(sin^2(a)) = sin(a) - sin^2(a) + cos(a) = sin(a) + cos(a) - sin^2(a)

Теперь упростим дроби в знаменателе:

1 + ctg^2(a) + b = 1 + (cos^2(a)/sin^2(a)) + b = (sin^2(a) + cos^2(a))/sin^2(a) + b = 1/sin^2(a) + b

1 + cos(2a)tg(2π - a) = 1 + cos(2a)sin(2π - a)/cos(2π - a) = 1 + cos(2a)sin(2π - a)/(-cos(2a)) = 1 - sin(2a)tg(2π - a)

Теперь подставим упрощенные дроби и упростим:

(sin(a) + cos(a) - sin^2(a))/(1/sin^2(a) + b)(1 - sin(2a)tg(2π - a)) = (sin(a)(1 + cos(a)) - sin^2(a))/(1 - sin(2a)tg(2π - a))((1 + bsin^2(a))/sin^2(a)) = ((sin(a)(1 + cos(a)) - sin^2(a))(sin^2(a)))/((1 + bsin^2(a))(1 - sin(2a)tg(2π - a)))

= (sin^3(a) + sin^2(a)cos(a) - sin^4(a))/(1 + bsin^2(a) - sin(2a)tg(2π - a) - bsin^4(a))

А дальше упрощение будет зависеть от конкретных численных значений a и b.