Question

Тригонометричні рівняння допоможіть ‼️100б‼️3sin²x-3sinxcosx+2cos²x=0​

Answer 1

Это однородное уравнение второй степени Решим его делением обеих частей уравнения на Cos² x ,  Cosx ≠ 0 .

$\displaystyle\bf\\3Sin^{2} x-3Sinx Cosx+2Cos^{2} x=0\\\\\\\frac{3Sin^{2} x}{Cos^{2} x} -\frac{3Sinx Cosx}{Cos^{2} x} +\frac{2Cos^{2} x}{Cos^{2} x} =0\\\\\\3tg^{2} x-3tgx+2=0\\\\tgx=m\\\\3m^{2} -3m+2=0\\\\D=(-3)^{2} -4\cdot 3\cdot 2=9-24=-15 < 0$

корней нет

Answer 2

Для розв'язання даного тригонометричного рівняння, спочатку замінимо sin^2(x) і cos^2(x) за допомогою тригонометричного тотожності sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

3(1 - cos^2(x)) - 3sin(x)cos(x) + 2cos^2(x) = 0

Поділимо на 3:

1 - cos^2(x) - sin(x)cos(x) + (2/3)cos^2(x) = 0

Скористаємося формулою для добутку sin(x)cos(x):

1 - cos^2(x) - (1/2)sin(2x) + (2/3)cos^2(x) = 0

Знайдемо спільний знаменник для коефіцієнтів cos^2(x):

(3cos^2(x) - 2cos^2(x)) - cos^2(x) - (1/2)sin(2x) = 0

cos^2(x) - (1/2)sin(2x) = 0

Тепер замінимо sin(2x) за допомогою формули:

cos^2(x) - sin(x)cos(x) = 0

cos(x)(cos(x) - sin(x)) = 0

Отримали два фактори:

1) cos(x) = 0 2) cos(x) - sin(x) = 0

1) Розв'язуємо перший фактор: cos(x) = 0 Знаходимо всі значення x, для яких cos(x) = 0. Це відомий факт, що cos(x) = 0 при x = (2n + 1)π/2, де n - ціле число.

2) Розв'язуємо другий фактор: cos(x) - sin(x) = 0 Перенесемо sin(x) на ліву сторону: cos(x) = sin(x) Поділимо обидві частини на cos(x): 1 = tan(x) Знаходимо всі значення x, для яких tan(x) = 1. Це відомий факт, що tan(x) = 1 при x = π/4 + nπ, де n - ціле число.

Отже, розв'язками заданого тригонометричного рівняння є x = (2n + 1)π/2 та x = π/4 + nπ, де n - ціле число.