Question

Решить уравнение: Как решить его рациональнее? Честно говоря, метод разложения на множители мне не совсем подходит, поскольку мне сложно привести исходной многочлен к такому виду, в котором можно будет вынести общий множитель за скобки...

Answer 1

Ответ:

x = {-1, 3, 4}

Объяснение:

Если вам не подходит метод разложения, то можно воспользоваться методом подбора рациональных корней. Он очень ситуативный и в отдельных случаях не всегда подойдёт, но попробовать можно.

Будем работать с коэффициентами a = 1, b = - 6, c = 5, d = 12.

1. Если a + b + c + d = 0, то уравнение имеет корень x = 1.

Нам это не подходит.

2. Если b + d = a + c, то уравнение имеет корень x = -1.

Так как -6 + 12 = 1 + 5, значит наше уравнение имеет корень -1.

3. Так как a, b, c, d - целые числа, то можно попробовать подобрать такие рациональные корни p / q, что d будет нацело делится на p, а a будет нацело делится на q.

В общем случае, это простое нахождение корней среди делителей свободного члена, так как у нас a = 1.

Рассмотрим делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Сразу можно отсеять числа 1, 12, так как они нам не подойдут. Теперь просто подставляем остальные числа и находим остальные корни:

x = 3, 4

• Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Мы нашли 3 действительных корня, они и являются решением нашего уравнения.

Данный способ не будет работать, если уравнение имеет иррациональные корни.

Answer 2

$\displaystyle x^3-6x^2+5x+12=0$

• Обратим внимание на последнее слагаемое(12) и запишем его делители: ±1;±2;±3...

• Подставим эти делители вместо х-ов в уравнение и проверим, при каком из этих значений уравнение станет верным. И то значение, которое нам подойдет, будет одним из действительных корней, который решит данное уравнение. Далеко не пойдя поймём, что -1 является одним из действительных корней.

• Теперь самое основное – делим наше уравнение на х "минус" на этот же корень(-1). Т.е. на х+1. После деления получим ответ без остатков, значит произведение частного и делителя равняются нашему исходному уравнению. Т.е. вместо нашего кубического многочлена можем записать: (х+1)(х²-7х+12) = 0.

• Вторую скобку разложим на множители: (х+1)(х-3)(х-4) = 0. Отсюда выходит, что корни -1; 3; 4 решат данное уравнение.

Ответ: х₁ = -1, х₂ = 3, х₃ = 4

Answer 3

Для решения уравнения, если метод разложения на множители не подходит, можно воспользоваться методом подстановки.

Предположим, что дано уравнение вида: ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0, где a, b, c, d - коэффициенты, а n - степень многочлена.

1. Подставим новую переменную, например, y = x^n. Тогда уравнение примет вид: ay^2 + by + cy + d = 0.

2. Решим полученное квадратное уравнение относительно y. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта или другими методами решения квадратных уравнений.

3. После нахождения значения y, найдем соответствующие значения x. Для этого возьмем корень n-ой степени из y: x = y^(1/n).

4. Проверим найденные значения x, подставив их в исходное уравнение. Если получаем 0, то это корректное решение.

Пример:

Решим уравнение x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0.

1. Подставим y = x^3. Получим уравнение: y^2 - 6y + 11y - 6 = 0.

2. Решим полученное квадратное уравнение: y^2 + 5y - 6 = 0. Можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = 5^2 - 4*(-6) = 49. Получаем два корня: y1 = 1 и y2 = -6.

3. Найдем соответствующие значения x: x1 = 1^(1/3) = 1, x2 = (-6)^(1/3) ≈ -1.817, x3 = (-6)^(1/3) ≈ -1.817.

4. Проверим найденные значения, подставив их в исходное уравнение: (1)^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 0, (-1.817)^3 - 6(-1.817)^2 + 11(-1.817) - 6 ≈ 0, (-1.817)^3 - 6(-1.817)^2 + 11(-1.817) - 6 ≈ 0. Все значения удовлетворяют уравнению, значит, это корректные решения.

Таким образом, уравнение x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 имеет три корня: x1 = 1, x2 ≈ -1.817, x3 ≈ -1.817.