Question

108. Докажите неравенство: a) (5-2√3)(6+5√3) > 13; 6) (√3-1) (√2+1)>(√2+2)(√3 −2).

Answer 1

Ответ:

а). Истина.

б). Истина.

Объяснение:

а).

$\\ 30 + 25 \sqrt{3 } - 12 \sqrt{3} - 30 > 13 \\ 13 \sqrt{3 } > 13 \\ \sqrt{3} > 1 \\ \sqrt{3} > \sqrt{ {1}^{2} } \\ \sqrt{3} > \sqrt{1}$

б). Приближенное значение 1 выражения ≈ 1,76733, приближенное значение 2 выражения ≈ 0,914836. Следовательно, неравенство верно.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по отдельности:

1. \( (5 - 2\sqrt{3})(6 + 5\sqrt{3}) > 13 \):

Раскроем скобки:

\( 30 + 25\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 30 > 13 \).

Сгруппируем подобные члены:

\( -12\sqrt{3} + 25\sqrt{3} > 13 - 30 \).

\( 13\sqrt{3} > -17 \).

Это неравенство верно, так как положительная сторона больше отрицательной.

2. \( (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{2} + 1) > (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{3} - 2) \):

Упростим левую сторону:

\( \sqrt{3} - 1 + \sqrt{2} + 1 > (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{3} - 2) \).

\( \sqrt{3} + \sqrt{2} > (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{3} - 2) \).

Теперь умножим скобки:

\( (\sqrt{2} + 2)(\sqrt{3} - 2) = \sqrt{6} - 4 + 2\sqrt{3} - 4 \).

Упростим правую сторону:

\( \sqrt{3} + \sqrt{2} > \sqrt{6} - 8 + 2\sqrt{3} \).

Переносим все члены на одну сторону:

\( \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{2} + 8 - \sqrt{6} > 0 \).

\( -\sqrt{2} - \sqrt{6} + 8 > 0 \).

Переносим отрицательные члены на другую сторону:

\( 8 > \sqrt{2} + \sqrt{6} \).

Это неравенство верно, так как положительная сторона больше корня.

Таким образом, оба неравенства выполняются.