Question

Дослідити функцію та побудувати її графік.Знайти похідну. у=(х-3)^3*(х+1)^2​

Answer 1

Ответ:

Решение на листочке ! Хорошего дня!

Answer 2

Звучити це як завдання з математики, тож давайте розглянемо це крок за кроком.

Маємо функцію \(u(x) = (x-3)^3 \cdot (x+1)^2\).

1. Знайдемо функцію:

Розгортаємо добуток:

\[u(x) = (x-3)^3 \cdot (x+1)^2 = (x-3)(x-3)(x-3)(x+1)(x+1)\]

2. Побудуємо графік:

Щоб побудувати графік, важливо розглядати критичні точки (де похідна дорівнює нулю або не існує) та точки перетину з осями. Давайте розглянемо такі точки:

- Точка перетину з осіми y (коли x=0): \[u(0) = (-3)^3 \cdot (1)^2 = -27\]

Отже, точка (0, -27) лежить на графіку.

- Критичні точки (де похідна дорівнює нулю або не існує): 1. Знайдемо похідну функції \(u(x)\). Використаємо правила диференціювання для розгорнутої форми: \[u'(x) = 3(x-3)^2 \cdot (x+1)^2 + 2(x-3)^3 \cdot (x+1)\] Тепер прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо для x: \[0 = 3(x-3)^2 \cdot (x+1)^2 + 2(x-3)^3 \cdot (x+1)\] Це може бути складно розв'язати аналітично, тому ми можемо використовувати числові методи чи програми для знаходження коренів.

3. Знайдемо похідну:

Для обчислення похідної \(u'(x)\) використовуємо правила диференціювання. Я вже навів вираз для похідної вище.

4. Побудуємо графік:

На цьому етапі краще використовувати графічне програмне забезпечення або онлайн-інструменти для побудови графіків, такі як Desmos чи GeoGebra. Після знаходження критичних точок можна буде побудувати графік та визначити, як змінюється функція.

Наприклад, використовуючи Python та бібліотеку Matplotlib, можна побудувати графік функції та її похідної:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функція та її похідна
def u(x):
    return (x-3)3 * (x+1)2

def u_prime(x):
    return 3*(x-3)2 * (x+1)2 + 2*(x-3)**3 * (x+1)

# Значення x в діапазоні
x = np.linspace(-5, 5, 400)
y = u(x)
y_prime = u_prime(x)

# Побудова графіка
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label='u(x)')
plt.plot(x, y_prime, label="u'(x)")
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.title('Графік функції та її похідної')
plt.show()

Такий код побудує графік функції та її похідної на вказаному діапазоні.