Question

Решение всех заданий записывайте подробно. Задание 1. Задана функция y = −x² + 4x − 7. Найдите: а) область определения данной функции; б) область значений данной функции.

Answer 1

Ответ:

а)(2,-3)

б)E(f)=y∈(-11,∞)

Объяснение:

Answer 2

Конечно, давайте начнем с раскрытия области определения и области значений данной функции.

Область определения функции:

Область определения — это множество всех допустимых значений независимой переменной (обычно обозначается как \(x\)), при которых функция существует и имеет определенное значение.

У нас дана функция \(y = -x^2 + 4x - 7\). Это квадратичная функция, и область определения таких функций не ограничена, то есть для всех реальных чисел \(x\) данная функция будет определена.

Область значений функции:

Область значений — это множество всех возможных значений зависимой переменной (в данном случае \(y\)), которые функция может принимать.

Чтобы найти область значений для этой функции, можно воспользоваться несколькими методами. Один из способов — это анализ вершины параболы, так как у нас квадратичная функция.

Вершина параболы:

Функция \(y = -x^2 + 4x - 7\) представляет собой параболу, у которой коэффициент при \(x^2\) отрицателен, значит, парабола направлена вниз. Формула для нахождения координат вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вид: \(x_v = -\frac{b}{2a}\), \(y_v = f(x_v)\).

Здесь \(a = -1\), \(b = 4\): \[x_v = -\frac{4}{2*(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2.\] \[y_v = -(2)^2 + 4 * 2 - 7 = -4 + 8 - 7 = -3.\]

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = -x^2 + 4x - 7\) это \( (2, -3)\).

Область значений:

Поскольку парабола направлена вниз и вершина находится в точке \((2, -3)\), это означает, что максимальное значение функции достигается в этой точке. Значит, область значений функции \(y = -x^2 + 4x - 7\) это все реальные числа \(y\) такие, что \(y \leq -3\).

Таким образом, для данной функции: - Область определения: все реальные числа \(x\). - Область значений: все \(y\), такие что \(y \leq -3\).