Question

19.13. Решите неравенство: 5) (x²-3x-4)(x²-16)≥0;6) (x²-5x+6)(-x²+9)>0;7) (x²-2x-8)(9-x²)>0​

Answer 1

Ответ:

вроде по статусу умный, а легкие неравенство решить не можешь

Answer 2

Давайте решим каждое из неравенств по очереди.

1. \( (5 + (x^2 - 3x - 4))(x^2 - 16) \geq 0 \)

Сначала факторизуем квадратные многочлены:

\[ (x^2 - 3x - 4) = (x - 4)(x + 1) \] \[ (x^2 - 16) = (x - 4)(x + 4) \]

Теперь подставим обратно в исходное уравнение:

\[ (5 + (x - 4)(x + 1))(x - 4)(x + 4) \geq 0 \]

Теперь используем метод интервалов для определения знака данного выражения в каждом интервале:

1. Положим \( (x - 4)(x + 1) > 0 \), когда \( x < -1 \) или \( x > 4 \). 2. Положим \( (x - 4)(x + 1) < 0 \), когда \( -1 < x < 4 \).

Составим таблицу знаков для \( (5 + (x - 4)(x + 1))(x - 4)(x + 4) \):

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & (x - 4)(x + 1) & (x - 4)(x + 4) & 5 + (x - 4)(x + 1) & (5 + (x - 4)(x + 1))(x - 4)(x + 4) \\ \hline x < -1 & - & - & - & + \\ \hline -1 < x < 4 & + & - & + & - \\ \hline x > 4 & + & + & + & + \\ \hline \end{array} \]

Ответ: \( x \in (-\infty, -1] \cup (4, +\infty) \).

2. \( (6 + (x^2 - 5x + 6))(-x^2 + 9) > 0 \)

Факторизуем:

\[ (x^2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3) \] \[ (-x^2 + 9) = -(x - 3)(x + 3) \]

Подставим:

\[ (6 + (x - 2)(x - 3))(-(x - 3)(x + 3)) > 0 \]

Используем метод интервалов:

1. Положим \( (x - 2)(x - 3) > 0 \), когда \( x < 2 \) или \( 3 < x \). 2. Положим \( (x - 3)(x + 3) < 0 \), когда \( -3 < x < 3 \).

Составим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & (x - 2)(x - 3) & (x - 3)(x + 3) & 6 + (x - 2)(x - 3) & (6 + (x - 2)(x - 3))(-(x - 3)(x + 3)) \\ \hline x < -3 & - & - & - & + \\ \hline -3 < x < 2 & - & + & + & - \\ \hline 2 < x < 3 & + & + & + & - \\ \hline x > 3 & + & - & - & + \\ \hline \end{array} \]

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty) \).

3. \( (7 + (x^2 - 2x - 8))(9 - x^2) > 0 \)

Факторизуем:

\[ (x^2 - 2x - 8) = (x - 4)(x + 2) \] \[ (9 - x^2) = (3 + x)(3 - x) \]

Подставим:

\[ (7 + (x - 4)(x + 2))(9 - x^2) > 0 \]

Используем метод интервалов:

1. Положим \( (x - 4)(x + 2) > 0 \), когда \( x < -2 \) или \( x > 4 \). 2. Положим \( (9 - x^2) > 0 \), когда \( -3 < x < 3 \).

Составим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & (x - 4)(x + 2) & (9 - x^2) & 7 + (x - 4)(x + 2) & (7 + (x - 4)(x + 2))(9 - x^2) \\ \hline x < -3 & - & + & - & + \\ \hline -3 < x < -2 & - & - & - & + \\ \hline -2 < x < 3 & + & - & + & - \\ \hline 3 < x < 4 & + & + & + & + \\ \hline x > 4 & + & - & - & + \\ \hline \end{array} \]

Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 3) \cup (3, 4) \cup (4, +\infty) \).

Таким образом, получены ответы для всех трех неравенств.