Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями: y= -x^2+2, y= -2

Answer 1

Дивіться фото.................

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями y = -x^2 + 2 та y = -2, необхідно знайти точки перетину цих двох ліній.

Спочатку, давайте знайдемо точки перетину ліній. Покладемо y = -x^2 + 2 та y = -2 рівними одне одному, тоді ми отримаємо:

-x^2 + 2 = -2

Додамо 2 до обох боків рівняння:

-x^2 = 0

Тепер помножимо обидва боки на -1, щоб отримати позитивне значення x^2:

x^2 = 0

Звідси ми бачимо, що x = 0. Замінюючи це значення x у одному з рівнянь, отримаємо:

y = -0^2 + 2 y = 2

Таким чином, отримуємо точку перетину (0, 2).

Тепер, коли ми маємо точку перетину, ми можемо знайти площу фігури, обмеженої цими лініями. Ця фігура є фігурою внизу параболи y = -x^2 + 2, між x = 0 та будь-якими значеннями x.

Для знаходження площі цієї фігури можна використати інтеграл:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

де f(x) - верхня функція (у нашому випадку f(x) = -x^2 + 2), g(x) - нижня функція (у нашому випадку g(x) = -2), [a, b] - діапазон значень x, в якому ми обмежуємо фігуру.

У нашому випадку, ми обмежуємо фігуру зліва від точки перетину (0, 2), тому діапазон значень x буде від -∞ до 0.

Тоді площа фігури може бути знайдена як:

S = ∫[-∞,0] ((-x^2 + 2) - (-2)) dx

S = ∫[-∞,0] (-x^2 + 4) dx

Тепер, виконавши інтегрування, отримаємо:

S = [-((1/3)x^3 - 4x)]|[-∞,0]

S = [-(0 - 0)] - [(-∞ - 0)]

S = 0 - (-∞)

Тут ми бачимо, що площа фігури обмежена цими лініями дорівнює нескінченності.

Таким чином, площа фігури обмеженої лініями y = -x^2 + 2 та y = -2 дорівнює нескінченності.

Answer 3

Для того чтобы найти площу фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = -2, нам необходимо вычислить интеграл от y = -x^2 + 2 до y = -2 по оси x.

Нахождение точек пересечения линий

Для начала найдем точки пересечения линий y = -x^2 + 2 и y = -2. Подставим y = -2 в первое уравнение:

-2 = -x^2 + 2

Перенесем все в одну сторону:

x^2 = 4

Извлекая квадратный корень, получим:

x = ±2

То есть, линии пересекаются в точках (2, -2) и (-2, -2).

Графическое представление фигуры

Для лучшего понимания фигуры, нарисуем график данных линий:

  |                    .
  |                 .
  |              .
  |           .
  |       .
  |   .
  |_______________________
   -2   -1   0   1   2   3

Фигура, ограниченная линиями y = -x^2 + 2 и y = -2, представляет собой область между этими двумя кривыми и осью x.

Вычисление площади фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы должны взять интеграл от y = -x^2 + 2 до y = -2 по оси x. Поскольку мы имеем две области (одна над осью x и одна под ней), мы можем взять два интеграла и сложить их для получения общей площади.

Интеграл от y = -x^2 + 2 до y = -2 можно записать следующим образом:

S = ∫[-2, 2] (-x^2 + 2) dx + ∫[-2, 2] (-2) dx

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

∫[-2, 2] (-x^2 + 2) dx = [-1/3 * x^3 + 2x] [-2, 2] = [-1/3 * 2^3 + 2 * 2] - [-1/3 * (-2)^3 + 2 * (-2)] = [-8/3 + 4] - [-8/3 - 4] = (4/3) + (8/3) = 12/3 = 4

∫[-2, 2] (-2) dx = -2 * [x] [-2, 2] = -2 * (2 - (-2)) = -2 * 4 = -8

Теперь сложим результаты:

S = 4 + (-8) = -4

Полученная площадь равна -4.

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = -2, составляет -4.