Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО докажите что многочлен х^2-10х+у^2-8у+49 при любых значениях входящих в него переменных принимает положительные значения​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Выделим полные квадраты:

x² - 10x = (x² - 2·5x + 25) - 25 = (x - 5)² - 25

y² - 8y = (y² - 2·4y + 16) - 16 = (y - 4)² - 16

Тогда:

x² - 10x + y²-8y + 49 = (x - 5)² - 25 + (y - 4)² - 16 + 49 =

(x - 5)² + (y - 4)²  - 41 + 49 = (x - 5)² + (y - 4)² + 8 > 0

Выражение при любых  значениях x и y принимает положительные значения

Answer 2

Для начала, заметим, что многочлен вида x^2 + y^2 + c, где c - некоторая константа, всегда принимает только положительные значения.

Действительно, поскольку x^2 и y^2 всегда неотрицательны, их сумма и так будет неотрицательна. Если добавить некоторую положительную константу c, то сумма станет положительной.

Поэтому, чтобы доказать, что многочлен x^2 - 10x + y^2 - 8y + 49 принимает только положительные значения, достаточно доказать, что он имеет вид x^2 + y^2 + c, где c > 0.

Для этого раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

x^2 - 10x + y^2 - 8y + 49 = (x^2 - 10x) + (y^2 - 8y) + 49

Теперь представим каждое слагаемое в виде суммы квадратов:

x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25 y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16

Подставим эти выражения в исходный многочлен:

(x^2 - 10x) + (y^2 - 8y) + 49 = [(x - 5)^2 - 25] + [(y - 4)^2 - 16] + 49

Распишем это выражение и упростим:

[(x - 5)^2 - 25] + [(y - 4)^2 - 16] + 49 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2 + 8

Как видно, последняя строка имеет вид x^2 + y^2 + c, где c = 8. Так как 8 > 0, мы имеем доказательство того, что исходный многочлен принимает только положительные значения при любых значениях переменных x и y.