Question

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 12 см. Центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании, и её радиус равен 10 см. Найди боковую сторону трапеции

Answer 1

Ответ:

4√5 см .

Объяснение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD. Если центр описанной около трапеции окружности находится на большем основании, то это будет точка О - середина основания AD. Тогда большее основание AD=10+10=20 см.

Δ AСD - прямоугольный, так как AD - диаметр окружности, а вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой.

Проведем высоту СН и трапеции и прямоугольного треугольника.

Если трапеция равнобедренная, то НD=(20-12):2=8:2=4 см.

Тогда АН= 20-4=16 см.

Так как высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе есть среднее геометрическое отрезков, на которые делится гипотенуза высотой, то

$CH= \sqrt{AH\cdot HD} ;\\CH=\sqrt{4\cdot16} =2\cdot4=8$

CH= 8 см.

Рассмотрим ΔCHD  - прямоугольный. Найдем CD по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$CD^{2} =CH^{2} +HD^{2} ;\\CD =\sqrt{CH^{2} +HD^{2}} ;\\CD= \sqrt{8^{2} +4^{2} } =\sqrt{64+16} =\sqrt{80} =\sqrt{16\cdot5 } =4\sqrt{5}$

Тогда боковая сторона трапеции равна 4√5 см

Answer 2

Давайте обозначим данные величины. Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны. Также, пусть \(O\) - центр окружности, описанной вокруг трапеции, и \(R\) - её радиус.

Из условия задачи у нас есть:

1. Меньшее основание равнобедренной трапеции \(AB = CD = 12\) см. 2. Радиус окружности \(R = 10\) см.

Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как \(BC = AD = x\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(OBC\). Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус окружности - это перпендикуляр к хорде, проведенной от центра окружности. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(OB = R = 10\) см и катетами \(BC = x\) и \(OC\).

Применим теорему Пифагора:

\[OB^2 = BC^2 + OC^2\]

\[10^2 = x^2 + OC^2\]

\[100 = x^2 + OC^2\]

Теперь рассмотрим треугольник \(OAD\). Этот треугольник также является прямоугольным, и его гипотенуза равна \(OA = R = 10\) см, а катеты \(AD = x\) и \(OD\).

Применим теорему Пифагора:

\[OA^2 = AD^2 + OD^2\]

\[10^2 = x^2 + OD^2\]

\[100 = x^2 + OD^2\]

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[100 = x^2 + OC^2\]

\[100 = x^2 + OD^2\]

Поскольку центр окружности находится на большем основании трапеции, \(OC\) и \(OD\) равны половине длины большего основания. Пусть \(OC = OD = \frac{AB}{2} = 6\) см.

Теперь подставим значения:

\[100 = x^2 + 6^2\]

\[100 = x^2 + 36\]

\[x^2 = 100 - 36\]

\[x^2 = 64\]

\[x = 8\]

Таким образом, длина боковой стороны трапеции \(BC = AD = x = 8\) см.