Question

Пусть z1=2+i z2=0,2+0,4i при каких действительных значениях а и b выполняется условие z1*z2=az1+bz2?

Answer 1

Ответ:

a = -1/3; b = 10/3

Объяснение:

Надо просто перемножить эти числа.

Это делается также, как перемножение многочленов.

Только надо помнить. что i*i = -1.

z1*z2 = (2 + i)(0,2 + 0,4i) = 2*0,2 + 0,2i + 2*0,4i + 0,4i*i =

= 0,4 + 0,2i + 0,8i - 0,4 = 0 + 1i = i

Теперь решаем уравнение:

a*z1 + b*z2 = i

a(2 + i) + b(0,2 + 0,4i) = i

2a + ai + 0,2b + 0,4bi = i

(2a + 0,2b) + (a + 0,4b)*i = i = 0 + 1*i

Составляем систему по коэффициентам:

{ 2a + 0,2b = 0

{ a + 0,4b = 1

Умножаем 1 уравнение на 5, а 2 уравнение на -10:

{ 10a + b = 0

{ -10a - 4b = -10

Складываем уравнения:

0a - 3b = -10

b = -10/(-3) = 10/3

a = -b/10 = -10/3 : 10 = -1/3

Answer 2

Давайте начнем с того, что у нас есть два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\):

\(z_1 = 2 + i\)

\(z_2 = 0,2 + 0,4i\)

Теперь мы хотим найти такие действительные числа \(a\) и \(b\), при которых выполняется условие:

\(z_1 \cdot z_2 = az_1 + bz_2\)

Сначала вычислим произведение \(z_1 \cdot z_2\):

\(z_1 \cdot z_2 = (2 + i) \cdot (0,2 + 0,4i)\)

Чтобы умножить эти два комплексных числа, давайте воспользуемся распределительным свойством умножения:

\((a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

Применяя это правило, получаем:

\((2 + i) \cdot (0,2 + 0,4i) = 2 \cdot 0,2 - 1 \cdot 0,4 + (2 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,2)i\)

\(= 0,4 - 0,4 + 0,8i = 0,8i\)

Теперь у нас есть \(z_1 \cdot z_2 = 0,8i\). Мы должны разложить правую часть \(az_1 + bz_2\) и приравнять к \(z_1 \cdot z_2 = 0,8i\):

\(az_1 + bz_2 = a(2 + i) + b(0,2 + 0,4i)\)

\(= 2a + ai + 0,2b + 0,4bi\)

Теперь мы должны приравнять это к \(0,8i\) и сгруппировать действительные и мнимые части:

\(2a + 0,2b + (a + 0,4b)i = 0 + 0,8i\)

Отсюда можно выделить два уравнения: одно для действительной части и одно для мнимой части:

1. Действительная часть: \(2a + 0,2b = 0\) 2. Мнимая часть: \(a + 0,4b = 0,8\)

Теперь решим это систему уравнений:

Из первого уравнения можно выразить \(a\) через \(b\):

\(a = -0,1b\)

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\(-0,1b + 0,4b = 0,8\)

\(0,3b = 0,8\)

\(b = \frac{0,8}{0,3} \approx 2,67\)

Теперь найдем \(a\), используя найденное значение \(b\):

\(a = -0,1b = -0,1 \cdot 2,67 \approx -0,267\)

Итак, мы получили значения \(a \approx -0,267\) и \(b \approx 2,67\), при которых выполняется условие \(z_1 \cdot z_2 = az_1 + bz_2\).