Question

Моторная лодка прошла против течения реки 24км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 0,5 ч меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч. Ответ выразите в километрах в час в виде конечной десятичной (если возможно), либо несократимой обыкновенной (в противном случае) дроби.​

Answer 1

Ответ:

4

Объяснение:

x - скорость течения, км/ч.

y - время, затраченное по течению, ч.

Система уравнений:

(y+0,5)(20-x)=24; 20y-xy+10-0,5x=24; 20y-xy-0,5x=14

y(20+x)=24; 20y+xy=24

20y-xy-0,5x+20y+xy=14+24

40y-0,5x=38                                |×2

x=80y-76 или x=4(20y-19)

y(20+80y-76)=24

80y²-56y-24=0                           |8

10y²-7y-3=0; D=49+120=169

y₁=(7-13)/20=-6/20=-0,3 - ответ не подходит по смыслу.

y₂=(7+13)/20=20/20=1 ч потребовался пройти путь лодке по течению.

1(20+x)=24

x=24-20

x=4 км/ч - скорость течения.

Answer 2

Давайте обозначим скорость течения реки через \( v_r \) (в км/ч) и скорость моторной лодки в неподвижной воде через \( v_b \) (в км/ч).

Если лодка движется вдоль течения реки, её эффективная скорость увеличивается на скорость течения, и наоборот, при движении против течения её эффективная скорость уменьшается на скорость течения.

Итак, при движении вниз по течению лодка имеет скорость \( v_b + v_r \), а при движении вверх по течению её скорость равна \( v_b - v_r \).

Для расстояния в 24 км время вниз по течению будет \( t_1 = \frac{24}{v_b + v_r} \), а время вверх по течению \( t_2 = \frac{24}{v_b - v_r} \).

Условие задачи гласит, что время возвращения в пункт отправления меньше времени отправления на 0,5 часа:

\[ t_2 = t_1 - 0.5 \]

Подставим значения:

\[ \frac{24}{v_b - v_r} = \frac{24}{v_b + v_r} - 0.5 \]

Теперь упростим уравнение. Для этого умножим обе стороны на \( (v_b + v_r) \cdot (v_b - v_r) \) для избавления от знаменателей:

\[ 24 \cdot (v_b + v_r) = 24 \cdot (v_b - v_r) - 0.5 \cdot (v_b + v_r) \cdot (v_b - v_r) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 24v_b + 24v_r = 24v_b - 24v_r - 0.5 \cdot (v_b^2 - v_r^2) \]

Теперь сгруппируем все члены и упростим:

\[ 0.5 \cdot v_b^2 - 23.5 \cdot v_r^2 = 0 \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ v_b^2 - 47 \cdot v_r^2 = 0 \]

Теперь факторизуем левую сторону:

\[ (v_b + \sqrt{47} \cdot v_r) \cdot (v_b - \sqrt{47} \cdot v_r) = 0 \]

Это означает, что либо \( v_b + \sqrt{47} \cdot v_r = 0 \) (что не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной), либо \( v_b - \sqrt{47} \cdot v_r = 0 \).

Решим второе уравнение относительно \( v_r \):

\[ v_b - \sqrt{47} \cdot v_r = 0 \]

\[ \sqrt{47} \cdot v_r = v_b \]

\[ v_r = \frac{v_b}{\sqrt{47}} \]

Теперь подставим значение \( v_b = 20 \) км/ч:

\[ v_r = \frac{20}{\sqrt{47}} \approx \frac{20}{6.855} \approx 2.92 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, скорость течения реки составляет примерно 2.92 км/ч.