Question

Довести, що 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ ділиться на 13

Answer 1

Звичайно, можна довести це ділення за допомогою теорії конгруентності.

Давайте розглянемо різницю між числами \(3^{105}\) та \(4^{105}\). Ми хочемо показати, що ця різниця ділиться на 13.

Основна ідея полягає в тому, що якщо \(a \equiv b \pmod{m}\) (де \(\equiv\) означає "конгруентність за модулем \(m\)"), то різниця між двома числами \(a\) та \(b\) буде кратна \(m\). Тобто, якщо \(a\) та \(b\) дають однаковий залишок при діленні на \(m\), то їх різниця буде кратна \(m\).

Застосуємо це до чисел \(3^{105}\) та \(4^{105}\). Ми знаємо, що \(4 \equiv -1 \pmod{13}\) (оскільки \(4 = 13 \cdot 0 + 4\)), тоді \(4^{105} = (-1)^{105} = -1\).

Тепер розглянемо \(3^{105}\). Щоб спростити обчислення, використаємо малий теорему Ферма, яка говорить, що якщо \(p\) - просте число і \(a\) не кратне \(p\), тоді \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). У нашому випадку \(p = 13\), тому \(3^{12} \equiv 1 \pmod{13}\) (залишок від ділення \(3^{12}\) на 13 дорівнює 1 за малою теоремою Ферма). Тепер, щоб розрахувати \(3^{105}\), можемо розділити показник \(105\) на \(12\) і подивитися залишок: \(105 = 8 \cdot 12 + 9\). Це означає, що \(3^{105} = (3^{12})^8 \cdot 3^9 \equiv 1^8 \cdot 3^9 \equiv 3^9 \pmod{13}\).

Знаючи, що \(3^9 = 19683\) і при діленні на 13 залишок дорівнює 3, ми можемо записати: \(3^{105} \equiv 3 \pmod{13}\).

Отже, ми маємо \(3^{105} \equiv 3 \pmod{13}\) та \(4^{105} \equiv -1 \pmod{13}\). Різниця між цими числами дорівнює \(3 - (-1) = 4\). Це число ділиться на 13 без залишку, оскільки 4 - це кратне 13.

Отже, \(3^{105} + 4^{105}\) (або, що те саме, \(3^{105} - (-4)^{105}\)) ділиться на 13.