Question

Докажите неравенство: (x+3)(x-3) + x^2-32x+256 > -1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

используем формулы (a-b)(a+b) = a^2 - b^2. Тогда получим

х^2 - 9 + x^2 - 32x + 256 > -1

2x^2 - 32x + 247 > -1

2x^2 - 32x > -248

x(x-16) > -124

(x-8)^2 - 64 > -124

(x - 8)^2 > -60

квадрат действительного числа всегда положительный, следовательно, неравенство доказано.

Answer 2

Чтобы доказать данное неравенство \((x+3)(x-3) + x^2 - 32x + 256 > -1\), давайте развернем скобки и упростим выражение:

\((x+3)(x-3) + x^2 - 32x + 256 > -1\)

Раскроем скобки:

\(x^2 - 3x + 3x - 9 + x^2 - 32x + 256 > -1\)

Упростим:

\(2x^2 - 32x + 247 > -1\)

Теперь приведем все члены к одной стороне неравенства:

\(2x^2 - 32x + 248 > 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти значения \(x\), при которых оно больше нуля, мы можем воспользоваться методом знаков. Рассмотрим знаки коэффициентов перед каждым членом:

1. Коэффициент перед \(x^2\) положителен (\(2 > 0\)). 2. Коэффициент перед \(x\) отрицателен (\(-32 < 0\)). 3. Свободный член (\(248\)) положителен.

Теперь, используя правила изменения знака при умножении и делении, мы можем определить интервалы, на которых \(2x^2 - 32x + 248\) положительно:

- На интервале \((-\infty, x_1)\), где \(x_1\) - первый корень уравнения \(2x^2 - 32x + 248 = 0\). - На интервале \((x_2, +\infty)\), где \(x_2\) - второй корень уравнения.

Чтобы найти корни уравнения \(2x^2 - 32x + 248 = 0\), можно воспользоваться квадратным корнем:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае \(a = 2\), \(b = -32\), \(c = 248\). Подставим значения и решим:

\[x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(2)(248)}}{2(2)}\]

\[x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1984}}{4}\]

\[x_{1,2} = \frac{32 \pm \sqrt{-960}}{4}\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у уравнения есть два комплексных корня. Однако, даже не зная их точных значений, мы можем утверждать, что они будут иметь отрицательные действительные части.

Таким образом, неравенство \(2x^2 - 32x + 248 > 0\) выполняется на интервалах \((-\infty, x_1)\) и \((x_2, +\infty)\), где \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(2x^2 - 32x + 248 = 0\) с отрицательными действительными частями.