Question

Помогите пожалуйста!!! Вычислить объём пирамиды вершинами которого являются точки A, B, C, D; высоту, опущенную из вершины D на грань ABC и площадь грани BCD. A=(1,1,1); B=(2,4,-2); C=(2,0,2); D=(0,1,-1)​

Answer 1

Вычисление объема пирамиды

Для вычисления объёма пирамиды, вершинами которой являются точки A, B, C, D, мы можем использовать формулу, основанную на определителях матриц.

Объём пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

V = (1/6) * |(B - A) · ((C - A) × (D - A))|

где - B - A представляет собой вектор, соединяющий точки B и A, - C - A представляет собой вектор, соединяющий точки C и A, - D - A представляет собой вектор, соединяющий точки D и A, - (C - A) × (D - A) представляет собой векторное произведение векторов (C - A) и (D - A), - |(C - A) × (D - A)| представляет собой модуль (длину) вектора, полученного в результате векторного произведения, - (B - A) · ((C - A) × (D - A)) представляет скалярное произведение векторов (B - A) и ((C - A) × (D - A)).

Теперь, чтобы найти объём пирамиды с вершинами A, B, C, D, давайте вычислим значения этих векторов и применим формулу.

Вычисление векторов

Для начала, вычислим значения векторов (B - A), (C - A) и (D - A).

(B - A) = (2, 4, -2) - (1, 1, 1) = (1, 3, -3) (C - A) = (2, 0, 2) - (1, 1, 1) = (1, -1, 1) (D - A) = (0, 1, -1) - (1, 1, 1) = (-1, 0, -2)

Вычисление векторного произведения

Теперь, вычислим векторное произведение векторов (C - A) и (D - A).

(C - A) × (D - A) = (1, -1, 1) × (-1, 0, -2)

Векторное произведение можно вычислить так:

- (1 * 0 - (-1) * (-2)) = 0 - 2 = -2 - (-(1 * (-2)) - (1 * (-1))) = 2 - 1 = 1 - (1 * (-1) - (-1) * (-1)) = -1 - 1 = -2

Итак, векторное произведение (C - A) × (D - A) равно (-2, 1, -2).

Вычисление модуля вектора

Теперь, вычислим модуль (длину) вектора, полученного в результате векторного произведения.

|(C - A) × (D - A)| = |(-2, 1, -2)| = √((-2)^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Вычисление скалярного произведения

Наконец, вычислим скалярное произведение векторов (B - A) и ((C - A) × (D - A)).

(B - A) · ((C - A) × (D - A)) = (1, 3, -3) · (-2, 1, -2) = 1 * (-2) + 3 * 1 + (-3) * (-2) = -2 + 3 + 6 = 7

Вычисление объёма пирамиды

Теперь, подставим полученные значения в формулу для вычисления объёма пирамиды:

V = (1/6) * |(B - A) · ((C - A