Question

Вершини трикутника Надано вершини трикутника А(-2;5), В(0;1), С(3;-1). Знайти: a. рівняння сторони АВ- пряма L1 ; b. рівняння висоти СН- пряма L2 .

Answer 1

Надано вершини трикутника А(-2;5), В(0;1), С(3;-1).

Знайти: a. рівняння сторони АВ- пряма L1 ; b. рівняння висоти СН- пряма L2 .

а) Находим вектор АВ = B(0; 1) - A(-2; 5) = (2; -4).

Уравнение АВ: (х + 2)/2 = (у – 5)/(-4) или (х + 2)/1 = (у – 5)/(-2) каноническое.

-2х – 4 = у – 5,

AB: 2х + у – 1 = 0 общее.

б) Используем свойство уравнения перпендикулярной прямой.

Для прямой Ах + Ву + С1 = 0 перпендикулярная прямая имеет такое уравнение: Вх - Ау+ С2 = 0 или –Bx + Ay + C2 (из условия равенства 0 их скалярного произведения).

Находим перпендикуляр из точки С к прямой АВ: 2х + у – 1 = 0.

СН: х - 2у + С = 0. Подставим координаты точки С.

3 – 2*(-1) + С = 0, отсюда С = -3 - 2 = -5.

Уравнение СН: х - 2у - 5 = 0.

Answer 2

Для нашого трикутника ABC з вершинами A(-2;5), B(0;1) і C(3;-1) ми можемо знайти рівняння сторін та висот за допомогою координат точок та формул відстані між двома точками.

a. Рівняння сторони AB - пряма L1:

Формула відстані між двома точками (x₁, y₁) і (x₂, y₂) в декартовій системі координат:

\[ d = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2} \]

Для відстані між A(-2;5) і B(0;1) (сторона AB):

\[ d_{AB} = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} \]

\[ d_{AB} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} \]

\[ d_{AB} = \sqrt{4 + 16} \]

\[ d_{AB} = \sqrt{20} \]

\[ d_{AB} = 2\sqrt{5} \]

Отже, рівняння прямої L1 можна записати у формі:

\[ L1: \sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 5)^2} = 2\sqrt{5} \]

\[ L1: \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 5)^2} = 2\sqrt{5} \]

Це є рівняння кола з центром у точці A(-2;5) і радіусом 2\sqrt{5}.

b. Рівняння висоти CH - пряма L2:

Для знаходження висоти CH та визначення рівняння прямої L2, ми використовуємо факт, що висота перпендикулярна до сторони, на яку вона опущена. Також використаємо формулу прямої у вигляді \(y = mx + b\), де \(m\) - нахил прямої, а \(b\) - відсічення на вісі y.

Нахил прямої \(L2\) буде оберненим тангенсом нахилу відповідної сторони трикутника. Давайте знайдемо нахил сторони AC:

\[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{(-1) - 5}{3 - (-2)} = \frac{-6}{5} \]

Оскільки \(L2\) перпендикулярна \(AC\), нахил \(L2\) буде оберненим до нахилу \(AC\):

\[ m_{L2} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{5}{6} \]

Тепер, ми можемо використовувати одну з вершин трикутника для знаходження відсічення на вісі y. Візьмемо, наприклад, точку C(3;-1):

\[ y = mx + b \]

\[ -1 = \frac{5}{6}(3) + b \]

\[ -1 = \frac{5}{2} + b \]

\[ b = -\frac{7}{2} \]

Отже, рівняння прямої L2 буде:

\[ L2: y = \frac{5}{6}x - \frac{7}{2} \]