Question

ДОПОМОЖІТЬ!!! ДУДЕ ВАЖЛИВО! При яких значеннях параметра а рівняння ||x + 3| - 4| = x - а має безліч розв'язків.З поясненням!​

Answer 1

Давайте розглянемо рівняння \(|x + 3| - 4| = x - a\).

У цьому рівнянні важливо врахувати властивості модульної функції. Модуль виражає відстань від числа до нуля на числовій прямій. Також важливо помітити, що \(\sqrt{(x^2)} = |x|\).

Отже, почнемо розгляд випадків для різних значень параметра \(a\):

1. \(a > 3\):

В цьому випадку маємо:

\[ |x + 3| - 4 = x - a \]

Розкриваємо модуль, який може бути від'ємним або додатнім:

a) Якщо \(x + 3 \geq 0\), тобто \(x \geq -3\), то рівняння стає:

\[ x + 3 - 4 = x - a \]

Відси випливає, що \(a = 7\), та рівняння має безліч розв'язків.

b) Якщо \(x + 3 < 0\), тобто \(x < -3\), то рівняння стає:

\[ -(x + 3) - 4 = x - a \]

Відси отримаємо \(a = -x - 1\).

Оскільки \(x\) може бути будь-яким дійсним числом, цей випадок також має безліч розв'язків.

2. \(a = 3\):

В цьому випадку маємо:

\[ |x + 3| - 4 = x - 3 \]

Це рівняння має один розв'язок, оскільки під модулем може бути тільки додатне число.

3. \(a < 3\):

В цьому випадку маємо:

\[ |x + 3| - 4 = x - a \]

Розглядаємо два випадки:

a) Якщо \(x + 3 \geq 0\), тобто \(x \geq -3\), то рівняння має один розв'язок.

b) Якщо \(x + 3 < 0\), тобто \(x < -3\), то рівняння стає:

\[ -(x + 3) - 4 = x - a \]

Це також має один розв'язок.

Отже, при \(a > 3\) або \(a < 3\), рівняння має безліч розв'язків. При \(a = 3\) воно має один розв'язок.