Question

Знайдіть кут між прямими AB і CD якщо A(3;-1;3), B(3;-2;2), C(2;2;3), D(1;2;2).​

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти кут між прямими AB і CD, нам потрібно знайти вектори, що задають ці прямі, і використовувати формулу для кута між векторами.

Вектор AB можна знайти, віднімаючи координати точки A від координати точки B:

AB = (3 - 3, -2 - (-1), 2 - 3) = (0, -1, -1)

Вектор CD можна знайти, віднімаючи координати точки C від координати точки D:

CD = (1 - 2, 2 - 2, 2 - 3) = (-1, 0, -1)

Тепер ми маємо вектори AB і CD. Щоб знайти кут між ними, можемо використати формулу для косинуса кута між векторами:

cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| * ||CD||)

Де "·" позначає скалярний добуток векторів, а "|| ||" позначає довжину вектора. В нашому випадку:

AB · CD = (0 * -1) + (-1 * 0) + (-1 * -1) = 1

||AB|| = √(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = √(0 + 1 + 1) = √2

||CD|| = √((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2

Тепер можемо обчислити косинус кута:

cos(θ) = 1 / (√2 * √2) = 1 / 2

Тепер, щоб знайти кут θ, можемо використати арккосинус (обернений косинус) і отримаємо:

θ = arccos(1/2)

Знаючи значення arccos(1/2), ми можемо обчислити кут:

θ ≈ 60 градусів.

Отже, кут між прямими AB і CD приблизно дорівнює 60 градусів.

Answer 2

Для находження кута між прямими AB і CD, спочатку знайдемо напрямний вектор кожної прямої і використаємо їх для знаходження кута між векторами.

Напрямний вектор прямої AB буде вектором, що з'єднує точки A і B. Використаємо координати цих точок для знаходження вектора AB:

\[ \vec{AB} = \begin{bmatrix} 3-3 \\ -2-(-1) \\ 2-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \]

Аналогічно, напрямний вектор прямої CD буде вектором, що з'єднує точки C і D:

\[ \vec{CD} = \begin{bmatrix} 1-2 \\ 2-2 \\ 2-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \]

Тепер ми можемо використовувати формулу для знаходження косинуса кута між двома векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{\|\vec{AB}\| \|\vec{CD}\|} \]

де \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\) - скалярний добуток, а \(\|\vec{AB}\|\) і \(\|\vec{CD}\|\) - довжини векторів.

Спочатку знайдемо скалярний добуток:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) = 1 \]

Далі знайдемо довжини векторів:

\[ \|\vec{AB}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

\[ \|\vec{CD}\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

Тепер підставимо ці значення у формулу для косинуса:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

Тепер знайдемо сам кут:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \]

\[ \theta = 60^\circ \]

Отже, кут між прямими AB і CD дорівнює 60 градусів.