Question

b) Используя результаты предыдущих действий, найдите коэффициент при биномиальном разложении [(3x +1)(1-х)]^5

Answer 1

Ответ:

Для знаходження коєфіцієнта при біноміальному розкладі виразу [(3x + 1)(1 - x)]^5, можемо використовувати отриманий результат з попереднього завдання для кожного доданку у виразі.

Згідно з формулою біноміального розкладу, коефіцієнт перед доданком (a^m)(b^n) у виразі (a + b)^k дорівнює "k по m" (kCm) помножити на a в степені m та b в степені n, де kCm - це коефіцієнт біноміального коефіцієнта (коефіцієнт розвинення біноміальної формули).

У нашому виразі, (3x + 1) возводиться в степінь 5, тобто k = 5, і ми матимемо декілька доданків. Давайте обчислимо кожен з них, використовуючи результати з попереднього завдання:

1. Доданок 1:

(3x)^5 * 1^0 * kC5 = 3^5 * x^5 * 1 * 1 = 243x^5

2. Доданок 2:

(3x)^4 * 1^1 * kC4 = 3^4 * x^4 * 1 * 5 = 405x^4

3. Доданок 3:

(3x)^3 * 1^2 * kC3 = 3^3 * x^3 * 1 * 10 = 270x^3

4. Доданок 4:

(3x)^2 * 1^3 * kC2 = 3^2 * x^2 * 1 * 10 = 90x^2

5. Доданок 5:

(3x)^1 * 1^4 * kC1 = 3^1 * x^1 * 1 * 5 = 15x

6. Доданок 6:

(3x)^0 * 1^5 * kC0 = 1^0 * 1 * 1 = 1

Тепер, щоб знайти результат, додамо всі ці доданки разом:

243x^5 + 405x^4 + 270x^3 + 90x^2 + 15x + 1

Отже, коєфіцієнт перед біноміальним виразом [(3x + 1)(1 - x)]^5 відповідає сумі цих доданків, яка дорівнює:

243x^5 + 405x^4 + 270x^3 + 90x^2 + 15x + 1

Answer 2

Для нахождения коэффициента при определенном члене биномиального разложения нужно использовать формулу биномиального коэффициента. Общая формула биномиального разложения для выражения \((a+b)^n\) выглядит следующим образом:

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k\]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), а \(n!\) - факториал числа \(n\).

В вашем случае у вас есть выражение \((3x+1)(1-x)^5\), и вам нужно найти коэффициент при \(x^{(5-1)} = x^4\) в его биномиальном разложении.

Прежде всего, определим биномиальные коэффициенты:

\[C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = 5\]

Теперь подставим значения в формулу биномиального разложения:

\[(3x+1)(1-x)^5 = \sum_{k=0}^{5} C(5, k) \cdot (3x)^{5-k} \cdot (1-x)^k\]

С учетом того, что вас интересует коэффициент при \(x^4\), учтем только слагаемые, где \(k=1\):

\[C(5, 1) \cdot (3x)^{5-1} \cdot (1-x)^1 = 5 \cdot (3x)^4 \cdot (1-x)\]

Теперь умножим многочлены:

\[5 \cdot (81x^4) \cdot (1-x) = 405x^4 \cdot (1-x)\]

Таким образом, коэффициент при \(x^4\) в разложении \((3x+1)(1-x)^5\) равен \(405 \cdot (1-x)\).