Question

Помогите, пожалуйста, найти первообразную функции (1-x)^4

Answer 1

Путём нехитрых преобразований дифференциал приводим к виду аргумента подынтегральной функции. В результате можно использовать табличную производную от степенной функцию .

$\int\limits {(1-x)^4} \, dx = -\int\limits {(1-x)^4} \, d(-x) =- \int\limits {(1-x)^4} \, d(1-x) = \\ \\ = -\frac{1}{4+1} (1-x)^{4+1} +C = - \frac{1}{5} (1-x)^{5} + C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции выражения (1-x)^4, мы можем использовать правило степенной функции и правило суммы и разности производных.

Правило степенной функции:

Если у нас есть функция вида f(x) = x^n, то ее первообразная будет F(x) = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Правило суммы и разности производных:

Если у нас есть функции f(x) и g(x), и их производные f'(x) и g'(x) существуют, то производная суммы или разности функций будет равна сумме или разности их производных, то есть (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x).

Теперь применим эти правила к нашему выражению (1-x)^4:

(1-x)^4 = (1^4 - 4 * 1^3 * x + 6 * 1^2 * x^2 - 4 * 1 * x^3 + x^4)

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

(1^4)' = 0 (-4 * 1^3 * x)' = -4 * 3 * 1^2 * x^0 = -12x^0 = -12 (6 * 1^2 * x^2)' = 6 * 2 * 1^1 * x^1 = 12x (-4 * 1 * x^3)' = -4 * 1 * 3 * x^2 = -12x^2 (x^4)' = 4x^3

Теперь объединим производные и найдем первообразную:

F(x) = (0 - 12x + 12x - 12x^2 + 4x^3) + C F(x) = -12x^2 + 4x^3 + C

Таким образом, первообразная функции (1-x)^4 равна F(x) = -12x^2 + 4x^3 + C.