Question

Найдите область значений функции у = x2 - 4 х - 7, где х [-1; 5].

Answer 1

скорее всего (-8,-17)

вроде бы так

Answer 2

Для того чтобы найти область значений функции \( y = x^2 - 4x - 7 \) при заданных значениях переменной \( x \) в интервале \( x \in [-1, 5] \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции: Критические точки находятся, когда производная функции равна нулю. Вычислим производную: \[ y' = 2x - 4 \] Теперь приравняем её нулю и решим уравнение: \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Таким образом, у нас есть одна критическая точка \( x = 2 \).

2. Определим значения функции на концах интервала: Подставим \( x = -1 \) и \( x = 5 \) в исходную функцию: \[ y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 7 = 1 + 4 - 7 = -2 \] \[ y(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 - 7 = 25 - 20 - 7 = -2 \]

3. Анализируем результаты: Получили критическую точку \( x = 2 \) и значения функции на концах интервала: \( y(-1) = -2 \) и \( y(5) = -2 \). Теперь нужно определить, где функция достигает максимальных и минимальных значений.

Поскольку у коэффициента при \( x^2 \) положительное значение (2), это означает, что парабола направлена вверх. Таким образом, у нас есть минимум функции.

Так как у нас есть только одна критическая точка и функция имеет минимум, это значение будет минимальным значением функции.

4. Определим область значений: Минимальное значение функции достигается в точке \( x = 2 \), и это единственное минимальное значение. Следовательно, область значений функции \( y = x^2 - 4x - 7 \) при \( x \) из интервала \([-1, 5]\) — это все значения \( y \), которые больше или равны минимальному значению функции в точке \( x = 2 \). Таким образом, область значений будет \([y_{\text{мин}}, +\infty)\), где \( y_{\text{мин}} \) — минимальное значение функции.

Таким образом, область значений функции \( y = x^2 - 4x - 7 \) при \( x \in [-1, 5] \) — это все значения \( y \), большие или равные -11 (минимальное значение функции).