Question

в прямоугольном треугольнике один из катетов меньше гипотенузы на 2 см, а другой меньше гипотенузы на 9 см . найдите площадь этого треугольника​

Answer 1

Пусть катеты треугольника равны x и y, а гипотенуза равна z.

Из условия задачи, у нас есть два уравнения:

x = z - 2
y = z - 9

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения значения z:

x^2 + y^2 = z^2

Подставим значения x и y из уравнений:

(z - 2)^2 + (z - 9)^2 = z^2

Раскроем скобки:

z^2 - 4z + 4 + z^2 - 18z + 81 = z^2

Сократим подобные члены:

2z^2 - 22z + 85 = z^2

Перенесем все члены влево:

z^2 - 22z + 85 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение.

Раскроем скобки:

(z - 17)(z - 5) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для z: z = 17 или z = 5.

Если z = 17, то x = 15 и y = 8.
Если z = 5, то x = 3 и y = -4.

Мы выбираем только положительные значения для катетов, поэтому выбираем z = 17.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

Площадь = (1/2) * основание * высота

В данном случае, основание будет равно одному из катетов (x или y), а высота будет равна другому катету.

Пусть x будет основанием, а y - высотой:

Площадь = (1/2) * x * y

Подставим значения x и y:

Площадь = (1/2) * 15 * 8 = 60 квадратных сантиметров

Таким образом, площадь этого треугольника равна 60 квадратных сантиметров.

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\). Условие задачи гласит, что один катет меньше гипотенузы на 2 см, а другой - на 9 см. Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

\[ \begin{align*} a &= c - 2 \\ b &= c - 9 \\ \end{align*} \]

В прямоугольном треугольнике также выполняется теорема Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы решить задачу. Заменим \(a\) и \(b\) в уравнении Пифагора:

\[ (c - 2)^2 + (c - 9)^2 = c^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ c^2 - 4c + 4 + c^2 - 18c + 81 = c^2 \]

Объединим подобные члены и упростим уравнение:

\[ 2c^2 - 22c + 85 = c^2 \]

Подставим все члены на одну сторону и упростим:

\[ c^2 - 22c + 85 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -22\), и \(c = 85\). Рассчитаем дискриминант:

\[ D = (-22)^2 - 4(1)(85) = 484 - 340 = 144 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ c = \frac{22 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{22 \pm 12}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(c\):

\[ c_1 = \frac{22 + 12}{2} = 17 \]

и

\[ c_2 = \frac{22 - 12}{2} = 5 \]

Так как длины сторон не могут быть отрицательными, отбросим \(c_2\). Теперь найдем \(a\) и \(b\) с использованием уравнений \(a = c - 2\) и \(b = c - 9\):

\[ a_1 = 17 - 2 = 15 \]

и

\[ b_1 = 17 - 9 = 8 \]

Таким образом, у нас есть стороны треугольника: \(a = 15\), \(b = 8\) и \(c = 17\).

Наконец, найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60 \]

Таким образом, площадь этого треугольника равна 60 квадратным сантиметрам.