Question

2. В прямоугольном треугольнике периметр равен 24 см, а гипо- тенуза -10 см. Найдите катеты.​

Answer 1

Для решения данной задачи, давайте вспомним формулу для нахождения периметра треугольника:

P = a + b + c,

где a, b и c - стороны треугольника.

Так как дан прямоугольный треугольник (один из углов прямой), то гипотенуза является самой длинной стороной. Пусть катеты равны x и y см. Тогда:

x + y + 10 = 24;

x + y = 14.

Теперь найдем квадрат каждого катета через теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2;

x^2 + y^2 = 100;

(x + y)^2 - 2xy = 100;

14^2 - 2xy = 100;

-2xy = -28.

xy = 14;

Мы получили систему из двух уравнений:

{x + y = 14, xy = 14.}

Решим эту систему. Выразим y через x:

y = 14 - x;

Подставим во второе уравнение:

Answer 2

Ответ:

Обозначим длины катетов данного прямоугольного треугольника через х и у.

В условии задачи сказано, что периметр данного прямоугольного треугольника равен 56 см, а его гипотенуза составляет 25 см, следовательно, сумма катетов составляет:

х + у = 56 - 25 = 31.

Из данного соотношения получаем:

у = 31 - х.

Используя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение:

х^2 + (31 - x)^2 = 25^2.

Решаем полученное уравнение:

х^2 + 961 - 62x + х^2 = 625;

2х^2 - 62х + 961 - 625 = 0;

2х^2 - 62х + 336 = 0;

х^2 - 31х + 168 = 0;

х = (31 ± √(961 - 4 * 168)) / 2 = (31 ± √289) / 2 = (31 ± 17) / 2;

х1 = (31 + 17) / 2 = 24;

х2 = (31 - 17) / 2 = 7.

Находим у:

у1 = 31 - х1 = 31 - 24 = 7;

у2 = 31 - х2 = 31 - 7 = 24.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см.

Answer 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b.

Известно, что периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

a + b + гипотенуза = 24.

Также, из теоремы Пифагора, известно, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

гипотенуза^2 = a^2 + b^2.

В данной задаче гипотенуза равна 10 см:

10^2 = a^2 + b^2.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

a + b + 10 = 24, a^2 + b^2 = 100.

Решим эту систему методом подстановки.

Из первого уравнения найдем:

a = 24 - b - 10, a = 14 - b.

Подставим значение a во второе уравнение:

(14 - b)^2 + b^2 = 100.

Раскроем скобку и упростим:

196 - 28b + b^2 + b^2 = 100, 2b^2 - 28b + 96 = 0.

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = 2, b = -28, c = 96.

D = (-28)^2 - 4*2*96 = 784 - 768 = 16.

Дискриминант равен 16.

Так как D > 0, у уравнения есть два корня, т.е. катеты прямоугольного треугольника можно найти.

Теперь найдем значения катетов, используя формулы:

b = (-b + sqrt(D)) / (2 * a), b = (-(-28) + sqrt(16)) / (2 * 2) = (28 + 4) / 4 = 32/4 = 8 см.

a = 14 - b = 14 - 8 = 6 см.

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.