Question

Знайдіть суму цілих розв'язків нерівності:1)1/3<3^x+3<92) 1/8< 2^2-x ≤16

Answer 1

Ответ:

Давайте розглянемо кожну з нерівностей окремо:

1) \(\frac{1}{3} < 3^x + 3 < 9\)

Спростимо це нерівність:

Спершу віднімемо 3 від всіх частин:

\(\frac{1}{3} - 3 < 3^x < 9 - 3\)

\(-\frac{8}{3} < 3^x < 6\)

Тепер візьмемо логарифм з основою 3 від всіх частин:

\(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right) < \log_3(3^x) < \log_3(6)\)

\(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right) < x < \log_3(6)\)

Зверніть увагу, що \(\log_3\left(-\frac{8}{3}\right)\) не має дійсних розв'язків, оскільки логарифм з від'ємного числа не визначений. Тому нерівність не має цілих розв'язків.

2) \(\frac{1}{8} < 2^2 - x \leq 16\)

Спростимо це:

\(\frac{1}{8} < 4 - x \leq 16\)

Віднімемо 4 від всіх частин:

\(\frac{1}{8} - 4 < -x \leq 16 - 4\)

\(-\frac{31}{8} < -x \leq 12\)

Перевернемо нерівність та помножимо обидві сторони на -1:

\(\frac{31}{8} > x \geq -12\)

Таким чином, цілі розв'язки для цієї нерівності - це всі цілі числа в інтервалі від -12 до \(\frac{31}{8}\), включаючи -12 і виключаючи \(\frac{31}{8}\).

Answer 2

Щоб знайти суму цілих розв'язків нерівностей, давайте розглянемо кожну окремо.

1) \( \frac{1}{3} < 3^x + 3 < 9 \)

Спочатку віднімемо 3 від всіх частин нерівності:

\[ -\frac{8}{3} < 3^x < 6 \]

Тепер давайте розглянемо ступеневу функцію \( 3^x \). Ця функція зростає зі збільшенням x. Таким чином, ми шукаємо всі цілі значення x, для яких \( -\frac{8}{3} < 3^x < 6 \). Очевидно, що \( x \) повинно бути від'ємним.

Якщо \( x = -1 \), то отримаємо \( \frac{1}{3} < 3^{-1} + 3 < 9 \), що вірно.

Якщо \( x = -2 \), то отримаємо \( \frac{1}{3} < 3^{-2} + 3 < 9 \), що також вірно.

Таким чином, сума цілих розв'язків для цієї нерівності дорівнює -1 + (-2) = -3.

2) \( \frac{1}{8} < 2^{2 - x} \leq 16 \)

Спочатку візьмемо логарифм від обох сторін нерівності:

\[ -3 < 2 - x \leq 4 \]

Тепер віднімемо 2 від всіх частин нерівності:

\[ -5 < -x \leq 2 \]

Множимо всі частини на -1, змінюючи напрямок нерівності:

\[ 2 \geq x > -5 \]

Отже, ми шукаємо всі цілі значення x, для яких \( 2 \geq x > -5 \). Це включає всі цілі значення x від -4 до 2 (не включаючи саме 2).

Сума цих цілих чисел дорівнює -4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9.

Отже, сума цілих розв'язків обох нерівностей дорівнює -3 + (-9) = -12.