Question

Розв'яжіть рівняння 25^(tg^2 x) +125 =6*5^(1/cos^2 x )

Answer 1

Ответ:

1. Визначимо tg^2(x) як y.

25^y + 125 = 6 * 5^(1/cos^2(x))

2. Застосуємо заміну: tg^2(x) = y.

25^y + 125 = 6 * 5^(1/(1 - sin^2(x)))

3. Замінимо sin^2(x) як (1 - cos^2(x)).

25^y + 125 = 6 * 5^(1/(cos^2(x)))

4. Замінимо cos^2(x) як 1 - sin^2(x).

Отримаємо:

25^y + 125 = 6 * 5^(1/(1 - sin^2(x)))

5. Визначимо 5^(1/(1 - sin^2(x))) як z.

Отримаємо:

25^y + 125 = 6 * z

Тепер рівняння має вигляд:

25^y + 125 = 6z

6. Виразимо z з останнього рівняння:

z = (25^y + 125) / 6

7. Підставимо це значення z в вираз 5^(1/(1 - sin^2(x))).

5^(1/(1 - sin^2(x))) = (25^y + 125) / 6

8. Тепер ми можемо знайти значення sin^2(x) як 1 - 1/z.

sin^2(x) = 1 - 1/z

9. Підставимо замінене значення sin^2(x) у вираз tg^2(x).

tg^2(x) = y = sin^2(x) / (1 - sin^2(x))

10. Отримаємо рівняння для змінної y:

y = (1 - 1/z) / (1 - (1 - 1/z))

11. Розв'яжемо це рівняння для y.

y = (1 - 1/z) / (1 - 1 + 1/z) = (1 - 1/z) / (1/z) = z(1 - 1/z)

12. Тепер знайдемо значення z з попереднього виразу для sin^2(x):

z = (25^y + 125) / 6

13. Замінимо знайдене значення z у рівняння для y:

y = z(1 - 1/z) = (25^y + 125) / 6 * (1 - 6 / (25^y + 125))

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння 25^(tg^2(x)) + 125 = 6 * 5^(1/(cos^2(x))), спочатку спробуємо спростити вирази у рівнянні.

Спрощення першого виразу:

25^(tg^2(x)) можна записати як (5^2)^(tg^2(x)), що дорівнює 5^(2*tg^2(x)).

Спрощення другого виразу:

Аналогічно, 5^(1/(cos^2(x))) можна записати як 5^(cos^-2(x)).

Отже, рівняння можна переписати як: 5^(2*tg^2(x)) + 125 = 6 * 5^(cos^-2(x)).

Тепер спробуємо вирішити рівняння.

Заміна змінної:

Для зручності введемо нову змінну, скажімо, y = tg^2(x). Тоді рівняння стає: 5^(2y) + 125 = 6 * 5^(cos^-2(x)).

Спрощення:

Замість використання значень cos^-2(x), спростимо цей вираз. cos^-2(x) = (cos(x))^(-2) = 1/(cos^2(x)).

Отже, рівняння стає: 5^(2y) + 125 = 6 * 5^(1/(cos^2(x))).

Підставлення:

Тепер підставимо y = tg^2(x) у рівняння: 5^(2y) + 125 = 6 * 5^(1/(cos^2(x))).

Знову спрощення:

6 * 5^(1/(cos^2(x))) = 6 * 5^(cos^-2(x)).

Отже, рівняння стає: 5^(2y) + 125 = 6 * 5^(cos^-2(x)).

Розкладання:

Запишемо 125 як 5^3: 5^(2y) + 5^3 = 6 * 5^(cos^-2(x)).

З