Question

Решите уравнение методом сведения их к однородным уравнением sin2x - 3cos^2 x = 4

Answer 1

Ответ:

Давайте решим уравнение sin^2(2x) - 3cos^2(x) = 4 с помощью метода приведения к однородному уравнению.

Сначала перепишем данное уравнение:

sin^2(2x) - 3cos^2(x) = 4

Затем воспользуемся тригонометрической идентичностью sin^2(2x) = 2sin^2(x)cos^2(x):

2sin^2(x)cos^2(x) - 3cos^2(x) = 4

Далее, вынесем общий множитель cos^2(x):

cos^2(x)(2sin^2(x) - 3) = 4

Тепер перепишем уравнение с использованием однородной переменной. Обозначим cos^2(x) как t:

t(2sin^2(x) - 3) = 4

Решим это уравнение относительно t:

2tsin^2(x) - 3t = 4

Тепер преобразуем его, чтобы t осталась в левой части:

2tsin^2(x) = 3t + 4

Далее, разделим обе стороны на 2sin^2(x):

t = (3t + 4) / (2sin^2(x))

Тепер у нас есть уравнение с однородной переменной t и угловой функцией sin^2(x). Тепер можем рассмотреть различные значения t и затем найти соответствующие значения x.

Answer 2

Для решения уравнения методом сведения к однородным уравнениям, мы должны преобразовать данное уравнение так, чтобы оно содержало только одну функцию, например, синус или косинус, и затем применить соответствующие тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: sin^2(x) - 3cos^2(x) = 4

Сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Заметим, что: 1. sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (тождество синуса). 2. cos^2(x) = 1 - sin^2(x) (тождество косинуса).

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

(1 - cos^2(x)) - 3(1 - sin^2(x)) = 4

Теперь упростим уравнение:

1 - cos^2(x) - 3 + 3sin^2(x) = 4

Прибавим 3 и выразим sin^2(x):

- cos^2(x) + 3sin^2(x) = 1

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только косинус и синус, и оно стало похоже на однородное уравнение. Однако, чтобы привести его к более общему виду однородного уравнения, поделим обе стороны на cos^2(x):

-(1 + 3tan^2(x)) = 1/cos^2(x)

Теперь мы видим, что у нас есть однородное уравнение с использованием тангенса:

- (1 + 3tan^2(x)) = sec^2(x)

Теперь давайте переформулируем это уравнение как:

1 + 3tan^2(x) = -sec^2(x)

Теперь мы можем применить исключение умножения на обратное значение тригонометрических функций, чтобы перейти к однородному уравнению. У нас есть:

tan^2(x) = -sec^2(x) - 1

Теперь мы можем использовать тождество для тангенса:

tan^2(x) = sec^2(x) - 1

И подставим его в уравнение:

sec^2(x) - 1 = -sec^2(x) - 1

Теперь у нас есть однородное уравнение:

2sec^2(x) = 0

Для решения этого уравнения просто поделим обе стороны на 2:

sec^2(x) = 0

Теперь возведем обе стороны в -1/2 степень:

sec^(-2)(x) = 0

Теперь мы можем использовать определение секанса:

sec^(-2)(x) = 1/cos^2(x) = 0

И далее:

1/cos^2(x) = 0

Это уравнение не имеет решений, так как деление на 0 не определено.

Таким образом, исходное уравнение sin^2(x) - 3cos^2(x) = 4 не имеет решений.