Question

Знайти загальне визначення первісної f(x)=(4x-1)^6​

Answer 1

Первісна функція - це функція, яка визначається шляхом інтегрування початкової функції. Тобто, якщо ми маємо функцію f(x), то її первісною є F(x), яка задовольняє умові F'(x) = f(x), де F'(x) - похідна функції F(x).

Отже, для знаходження первісної функції f(x) = (4x-1)^6, ми інтегруємо дану функцію відповідно до правил інтегрування.

Для тих, хто не знайомий з правилами інтегрування поліномів, коротко згадаємо основні правила: 1. Інтеграл суми - інтеграл кожного доданка окремо. 2. Інтеграл відповідний добутку - добуток інтегралу нашої функції на постійний множник. 3. Інтеграл від степеневої функції: ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + С, де n - ціле число.

Тепер застосуємо ці правила до заданої функції: f(x) = (4x-1)^6 Розкриємо цю функцію за формулою бінома Ньютона: f(x) = (4x-1)*(4x-1)*(4x-1)*(4x-1)*(4x-1)*(4x-1) Перемножимо ці доданки: f(x) = (4x)^6 - 6*(4x)^5 + 15*(4x)^4 - 20*(4x)^3 + 15*(4x)^2 - 6*(4x) + 1 Примінимо правила інтегрування: F(x) = ∫(4x)^6 dx - 6∫(4x)^5 dx + 15∫(4x)^4 dx - 20∫(4x)^3 dx + 15∫(4x)^2 dx - 6∫(4x)^1 dx + ∫dx Проведемо інтегрування кожного з доданків (застосуємо правила для степеневих функцій): F(x) = (1/7)*(4x)^7 - 6*(1/6)*(4x)^6 + 15*(1/5)*(4x)^5 - 20*(1/4)*(4x)^4 + 15*(1/3)*(4x)^3 - 6*(1/2)*(4x)^2 + x + C Спростимо цю формулу: F(x) = (4/7)*x^7 - 4x^6 + 20/5*x^5 - 80/3*x^4 + 20*x^3 - 12x^2 + x + C, де C - це константа, яка може приймати будь-яке дійсне значення.

Отже, загальне визначення первісної функції f(x) = (4x-1)^6 дорівнює F(x) = (4/7)*x^7 - 4x^6 + 20/5*x^5 - 80/3*x^4 + 20*x^3 - 12x^2 + x + C, де C - це константа.