Question

Для функции f (x) = 4е²ˣ ⁻ ¹ вычислите значение первоначальной в точке х = 0,5, если график первоначальной проходит через точку А (1; 4е). (Для функції f(х) = 4е²ˣ ⁻ ¹ обчисліть значення первісної в точці х = 0,5, якщо графік первісної проходить через точку А( 1; 4е). )

Answer 1

$\displaystylef(x)=4e^{2x-1}\\\\F(x)=4*\frac{1}{2}*e^{2x-1}+C= 2e^{2x-1}+C\\\\A(1;4e)=>4e=2e^{2*1-1}+C\\\\4e=2e^1+C\\\\4e-2e=C\\\\2e=C\\\\F(x)=2e^{2x-1}+2e\\\\F(0,5)=2e^{2*0,5-1}+2e=2e^0+2e=2+2e$

Answer 2

Для вычисления значения первообразной функции в точке x = 0,5, учитывая, что график первообразной проходит через точку А(1, 4e), нам необходимо найти антипроизводную (первообразную) функции f(x) = 4e^(2x⁻¹) и подставить значение x = 0,5.

Первообразная функции f(x) будет равна интегралу от функции f(x): ∫(4e^(2x⁻¹)) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, воспользуемся методом замены переменной. Полагая u = 2x⁻¹, получаем du = -2x⁻² dx, откуда dx = -du/(2x⁻²).

Подставляя это обратно в интеграл: ∫(4e^(2x⁻¹)) dx = ∫(4e^u * (-du/(2x⁻²))) = -2 * ∫(e^u / x²) du

Теперь можем проинтегрировать это выражение: -2 * ∫(e^u / x²) du = -2 * ∫(e^u) * (x⁻²) du = -2 * (e^u / (-x)) = -2 * (-e^(2x⁻¹) / x)

Теперь, чтобы найти значение первообразной в точке x = 0,5, подставим x = 0,5 в полученное выражение: F(0,5) = -2 * (-e^(2 * (1/0,5))) / 0,5 = 2 * (-e^4) / 0,5 = -4e^4

Таким образом, значение первообразной функции f(x) в точке x = 0,5 при условии, что график первообразной проходит через точку А(1, 4e), равно -4e^4.