Question

II варіант 1. Відомо, що 1 < х < 3, 3 < у < 5. Яких значень може набувати вираз: a) 3x + y; б) 3x + 2y; в) 3х - 2у; 2. Нехай а > 1. Доведіть, що -а° > -а 8 г) 3. Доведіть, що коли а < b, аб > 0, то 1 V 1 6 (4 бали) (4 бали) (4 бали)

Answer 1

1. Для кожного виразу (a), (б) та (в), ми маємо дані обмеження для x і y: 1 < x < 3 3 < y < 5

a) 3x + y: Мінімальне значення 3x + y відбувається при найменших значеннях x і y, тобто x = 1 і y = 3: 3 * 1 + 3 = 3 + 3 = 6

Максимальне значення відбувається при найбільших значеннях x і y, тобто x = 3 і y = 5: 3 * 3 + 5 = 9 + 5 = 14

Таким чином, вираз 3x + y може набувати значень від 6 до 14 включно.

б) 3x + 2y: Мінімальне значення 3x + 2y відбувається при найменших значеннях x і y, тобто x = 1 і y = 3: 3 * 1 + 2 * 3 = 3 + 6 = 9

Максимальне значення відбувається при найбільших значеннях x і y, тобто x = 3 і y = 5: 3 * 3 + 2 * 5 = 9 + 10 = 19

Таким чином, вираз 3x + 2y може набувати значень від 9 до 19 включно.

в) 3x - 2y: Мінімальне значення 3x - 2y відбувається при найменших значеннях x і y, тобто x = 1 і y = 3: 3 * 1 - 2 * 3 = 3 - 6 = -3

Максимальне значення відбувається при найбільших значеннях x і y, тобто x = 3 і y = 5: 3 * 3 - 2 * 5 = 9 - 10 = -1

Таким чином, вираз 3x - 2y може набувати значень від -3 до -1 включно.

2. Доведення: Нехай a > 1. Ми хочемо довести, що -a^2 > -a.

Для цього розглянемо обидві сторони нерівності і спростимо їх:

-a^2 > -a

Тепер помножимо обидві сторони на -1 і змінимо напрямок нерівності:

a^2 < a

Тепер ми маємо нерівність a^2 < a. За умови a > 1, a^2 завжди буде більше за a (оскільки a^2 - це a, помножене на a, і a > 1). Таким чином, -a^2 < -a, що доводить оригінальну нерівність -a^2 > -a.

3. Доведення: Нехай a < b і ab > 0. Ми хочемо довести, що 1 ∨ 1/6 > 0.

Розглянемо два можливих випадки:

Випадок 1: a і b обидва додатні. У цьому випадку a > 0 і b > 0. Тоді a + b > 0 + 0 = 0. Крім того, a > 0, отже, 1/a > 0. Також 1/6 > 0, оскільки 1/6 - це додатнє число. Отже, у цьому випадку маємо: 1/a + 1/6 > 0

Випадок 2: a і b обидва від'ємні. У цьому випадку a < 0 і b < 0. Тоді a + b < 0 + 0 = 0. Крім того, a < 0, отже, 1/a < 0. Також 1/6 > 0. Отже, у цьому випадку маємо: 1/a + 1/6 > 0

Таким чином, незалежно від знаків a і b, ми завжди маємо 1/a + 1/6 > 0, що доводить, що 1 ∨ 1/6 > 0.