Question

Решите с помощью системы уравнений Два насоса совместно наполняют бассейн за 2 часа. Если каждый насос, работая отдельно, наполнит половину бассейна, то он наполнится за 4,5 часа. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос в отдельности.

Answer 1

Ответ:

Первый и второй насос наполняют бассейн целиком за 6 часов и за 3 часа соответственно

Объяснение:

Пусть, для наполнения бассейна нужно:

х часов - 1 насос

у часов - 2 насос.

Соответственно половина бассейна будет заполнена за:

х/2 и у/2 часов соответственно для 1 и 2 насоса.

Из условий: "если каждый насос ... наполнит половину ... всего потребуется 4,5 часа."

Отсюда:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 4.5$

Это 1 уравнение системы

За 1 час работы бассейн наполняется на:

1/х - для 1 насоса

1/у - для 2 насоса

Т.е. вместе они наполняют за час

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

частей бассейна.

А совместно наполняют бассейн за 2 часа.

Т.е. 2 часа совместной работы = 1 бассейн:

$( \frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times 2 = 1$

Это 2 уравнение системы

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 4.5 \\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times 2 = 1 \end{cases} < = > \begin{cases} x + y = 4.5 \cdot2 = 9 \\\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \end{cases} < = > \\ \begin{cases} x = 9 - y \\ \: \frac{2y}{xy} + \frac{2x}{xy} = 1 \end{cases} < = >\begin{cases} x = 9 - y \\ \: \frac{2y + 2x}{xy} = 1 \end{cases} < = > \\ \begin{cases} x = 9 - y \\ \: 2(y + x) = {xy} \end{cases} \: \begin{cases} x = 9 - y \\ \: 2(y + 9 - y) = y(9 - y) \end{cases} < = > \\ \begin{cases} x = 9 - y \\ 18 = 9y - {y}^{2} \end{cases}< => \begin{cases} x = 9 - y \\ {y}^{2} - 9y + 18 = 0 \end{cases} < = > \\ \begin{cases} x = 9 - y \\ (y - 6)(y - 3) = 0 \end{cases}$

Отсюда получаем 2 решения системы:

$\begin{cases} x = 9 - y \\ y= 6\end{cases} \cup \begin{cases} x = 9 - y \\ y= 3\end{cases}$

Это нам дает два симметричных решения системы:

$\begin{cases} x = 3 \\ y= 6\end{cases} \cup \begin{cases} x = 6 \\ y= 3\end{cases}$

То есть мы получили в ответе взаимозаменяемые х и у.

Т.к. порядок насосов в условии не указали, то в ответе можно записать:

Ответ: 6 часов и 3 часа соответственно нужно первому и второму насосу.

Answer 2

Пусть x обозначает скорость насоса 1 в наполнении бассейна за 1 час, и y обозначает скорость насоса 2 в наполнении бассейна за 1 час.

Известно, что два насоса совместно наполняют бассейн за 2 часа, что означает, что их комбинированная скорость равна 1/2 бассейна за 1 час. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

x + y = 1/2

Также известно, что каждый насос, работая отдельно, наполняет половину бассейна за 4,5 часа. Это означает, что скорость каждого насоса отдельно составляет 1/4.5 бассейна за 1 час:

x = 1/4.5 = 2/9 y = 1/4.5 = 2/9

Теперь у нас есть система уравнений:

1. x + y = 1/2 2. x = 2/9 3. y = 2/9

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала найдем значения x и y:

Из уравнения 2 мы знаем, что x = 2/9.

Теперь подставим это значение x в уравнение 1:

(2/9) + y = 1/2

Теперь выразим y:

y = 1/2 - 2/9

Для упрощения вычислений, найдем общий знаменатель:

y = (9/18) - (4/18) = 5/18

Теперь у нас есть значения x и y:

x = 2/9 y = 5/18

Теперь мы знаем, что скорость насоса 1 составляет 2/9 бассейна за 1 час, а скорость насоса 2 составляет 5/18 бассейна за 1 час.

Чтобы узнать, сколько часов потребуется каждому насосу для наполнения бассейна полностью, разделим объем бассейна на их скорости:

Время, которое потребуется насосу 1 = 1 / (2/9) = 9/2 = 4.5 часа Время, которое потребуется насосу 2 = 1 / (5/18) = 18/5 = 3.6 часа

Итак, насос 1 может наполнить бассейн в отдельности за 4.5 часа, а насос 2 - за 3.6 часа.