Question

1. Отделить кратные множители многочлена f(x) = x^6 + 6x^5 + 16x^4 + 24x^3 + 20x^2 + 8x 2. Разложить многочлен f(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32 на неприводимые множители - над полем Q - над полем С

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

8/9338

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему о разложении многочленов на неприводимые множители над полем Q (рациональные числа) и над полем C (комплексные числа).

Отделение кратных множителей многочлена f(x) = x^6 + 6x^5 + 16x^4 + 24x^3 + 20x^2 + 8x + 2:

Мы начнем с проверки, есть ли рациональные корни (нули) многочлена. Для этого мы используем рациональный корневой теорему (часто называемую теоремой Безу). Согласно этой теореме, если рациональное число p/q является рациональным корнем многочлена f(x), то p должно делить свободный член (в данном случае 2), а q должно делить старший коэффициент (в данном случае 1).

В данном случае старший коэффициент равен 1, а свободный член равен 2. Таким образом, рациональные корни должны быть делителями числа 2. Проверим все возможные делители числа 2: ±1 и ±2.

Подставим каждый из этих делителей в многочлен f(x) и проверим, равен ли результат нулю.

Подставив x = 1, получим: f(1) = 1^6 + 6(1)^5 + 16(1)^4 + 24(1)^3 + 20(1)^2 + 8(1) + 2 = 1 + 6 + 16 + 24 + 20 + 8 + 2 = 77

Подставив x = -1, получим: f(-1) = (-1)^6 + 6(-1)^5 + 16(-1)^4 + 24(-1)^3 + 20(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 1 - 6 + 16 - 24 + 20 - 8 + 2 = 1

Подставив x = 2, получим: f(2) = 2^6 + 6(2)^5 + 16(2)^4 + 24(2)^3 + 20(2)^2 + 8(2) + 2 = 64 + 192 + 256 + 192 + 80 + 16 + 2 = 802

Подставив x = -2, получим: f(-2) = (-2)^6 + 6(-2)^5 + 16(-2)^4 + 24(-2)^3 + 20(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 64 - 192 + 256 - 192 + 80 - 16 + 2 = -18

Таким образом, мы видим, что ни одно из рациональных чисел ±1 и ±2 не является корнем многочлена f(x). Поэтому многочлен f(x) не имеет рациональных корней, и мы должны использовать другой метод для отделения кратных множителей.

Разложение многочлена f(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32 на неприводимые множители над полем Q:

Поскольку многочлен f(x) не имеет рациональных корней, мы можем использовать метод деления синтетическим способом или метод деления полиномов для отделения кратных множителей.

Применим метод деления полиномов для отделения кратных множителей:

       x^4 +  4x^3 -  4x^2 - 16x + 16
x - 2 | x^5 -  6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32
       - (x^5 - 2x^4)
       ---------------
             -  4x^4 + 16x^3 - 32x^2
             + ( 4x^4 -  8x^3)
             ---------------
                       8x^3 - 32x^2 + 48x
                       - ( 8x^3 - 16x^2)
                       -----------------
                                 - 16x^2 + 48x - 32
                                 + (16x^2 - 32x)
                                 -----------------
                                          16x - 32
                                          - (16x - 32)
                                          ---------
                                                  0

Результат деления: x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32 = (x - 2)(x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x + 16)

Мы получили, что многочлен f(x) разлагается на множители (x - 2) и (x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x + 16).

Для дальнейшего разложения множителя (x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x + 16) на неприводимые множители над полем Q, мы можем использовать тот же метод деления полиномов:

        x^3 +  6x^2 +  8x - 8
x - 2 | x^4 +  4x^3 -  4x^2 - 16x + 16
       - (x^4 - 2x^3)
       ---------------
              6x^3 -  4x^2 - 16x
              + (6x^3 - 12x^2)
              ----------------
                       8x^2 - 16x + 16
                       - (8x^2 - 16x)
                       -------------
                                16
                                - 16
                                ----
                                 0

Результат деления: x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x + 16 = (x - 2)(x^3 + 6x^2 + 8x - 8)

Мы получили, что многочлен f(x) разлагается на множители (x - 2)(x^3 + 6x^2 + 8x - 8).

Разложение многочлена f(x) = x^5 - 6x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 48x - 32 на неприводимые множители над полем C:

Чтобы разложить многочлен f(x) на неприводимые множители над полем C, мы можем использовать метод синтетического деления, чтобы найти корни многочлена.

Применим метод синтетического деления, используя возможные корни многочлена f(x):

2 | 1  -6  16  -32  48  -32
   |    2  -8    16  -32    32
   -----------------------
    1  -4   8  -16   16     0

Мы получили, что многочлен f(x) делится на (x - 2) без остатка. Теперь мы можем разложить многочлен f(x) как произведение (x - 2) и результата деления:

f(x) = (x - 2)(x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16)

Теперь мы можем продолжить разложение множителя (x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 16) на неприводимые множители над полем C, используя метод синтетического деления:

``` 2 | 1 -4 8 -16 16 |