Question

Параметр(т.Виета) легкий. Помогите с решением При каких a один из корней уравнения 8x^2− 30x + a = 0 равен квадрату другого?

Answer 1

$8x^{2}-30x+a=0\\\\x_{1}+x_{2}=\dfrac{30}{8}=\dfrac{15}{4}\\\\x_{2}=x_{1}^{2}\\\\x_{1}+x_{1} ^{2}=\dfrac{15}{4} \\\\x_{1}^{2}+x_{1}-\dfrac{15}{4} =0\\\\4x_{1}^{2}+4x_{1}-15=0\\\\D=4^{2}-4\cdot 4\cdot (-15)=16+240=256=16^{2} \\\\x_{1}'=\dfrac{-4-16}{8}=-2,5\\\\x_{1}''= \dfrac{-4+16}{8}=1,5\\\\\\1)x_{1}=-2,5\\\\x_{1}\cdot x_{1}^{2} =\dfrac{a}{8}\\\\\dfrac{a}{8} =(-2,5)^{3} =-15,625\\\\\boxed{a_{1}=-125} \\\\2)x_{1} =1,5$

$\dfrac{a}{8} =(1,5)^{3} =3,375\\\\\boxed{a_{2}=27}$

Answer 2

Параметр Виета - это сумма корней квадратного уравнения, умноженная на -1. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, параметр Виета можно выразить следующим образом:

- Сумма корней: x1 + x2 = -b/a - Произведение корней: x1 * x2 = c/a

В данном случае, у нас есть уравнение 8x^2 - 30x + a = 0, и мы хотим найти значение параметра a, при котором один из корней равен квадрату другого.

Решение:

Пусть x1 и x2 - корни данного уравнения, где x1 - квадрат x2.

Тогда, мы можем записать следующее: x1 = x2^2

Подставим это в уравнение и решим его:

8x^2 - 30x + a = 0

8(x2^2)^2 - 30(x2^2) + a = 0

8x4 - 30x2 + a = 0

Теперь, мы можем использовать параметр Виета для нахождения значения a.

- Сумма корней: x1 + x2 = -(-30)/8 = 30/8 = 15/4 - Произведение корней: x1 * x2 = a/8

Мы знаем, что x1 = x2^2, поэтому можем записать следующее:

x2^2 + x2 = 15/4

Уравнение выше является квадратным уравнением относительно x2. Решим его:

x2^2 + x2 - 15/4 = 0

Теперь, мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней:

D = b^2 - 4ac

D = 1^2 - 4(1)(-15/4) = 1 + 15 = 16

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных вещественных корня.

x2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-1 - 4)/(2) = -5/2

x2 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-1 + 4)/(2) = 3/2

Теперь, мы можем найти значения x1, используя x2:

x1 = x2^2 = (3/2)^2 = 9/4

Таким образом, при a = 9/4, один из корней уравнения 8x^2 - 30x + a = 0 равен квадрату другого.

Ответ: Значение параметра a, при котором один из корней уравнения 8x^2 - 30x + a = 0 равен квадрату другого, равно 9/4.