Question

Дана последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... , 2019. Разрешается зачерки-вать любые два числа и записывать вместо нихих разность. Доказать, что если в конце осталсяодин нуль, то где-то была допущена ошибка.​

Answer 1

Разобьем эти числа следующим образом:

(1, 2, 3), (4, 5, 6, 7), (8, 9, 10, 11), ..., (2016, 2017, 2018, 2019).

С первой тройкой поступим так:

Вместо чисел 3 и 2 запишем их разность: 3-2=1.

Получили числа 1 и 1, вместо которых запишем их разность: 1-1=0.

С четверками поступим следующим образом: будем заменять разностью сначала первые два числа, затем другие два числа, а затем и образовавшиеся в результате замен числа. На примере последней четверки:

Вместо чисел 2019 и 2018 запишем их разность: 2019-2018=1, также вместо чисел 2017 и 2016 запишем их разность: 2017-2016=1.

Получили числа 1 и 1, вместо которых запишем их разность: 1-1=0.

Таким образом, у нас образовалось некоторое количество нулей. С помощью замен вида 0-0=0 в конечном счете мы можем получить один ноль.

Доказано, что один ноль может остаться.

Answer 2

Предположим, что в конце остался один нуль. Это значит, что все числа в последовательности, кроме одного, были зачеркнуты и заменены на разности.

Посмотрим на сумму всех чисел в исходной последовательности. Она равна 1 + 2 + 3 + ... + 2019 = (2019 * 2020) / 2 = 2039190.

Теперь посмотрим на сумму всех чисел после замены. Поскольку все числа, кроме одного, были заменены на разности, сумма после замены будет равна 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x, где x - оставшееся число в конце.

Так как сумма после замены равна 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x = x, а сумма исходной последовательности равна 2039190, то x должно быть равно 2039190.

Но по условию в конце остался один нуль. Это означает, что в процессе замены была допущена ошибка, так как должно было получиться число 2039190, а не ноль.

Таким образом, мы доказали, что если в конце остался один нуль, то где-то была допущена ошибка.