Question

16. Решите уравнение: х" +x' =1, x(0) = 0, x'(0) =1​

Answer 1

Ответ:

$x''+x'=1\ \ ,\ \ \ x(0)=0\ ,\ x'(0)=1\\\\x=x(t)\ \ ,\ \ x'=p(t)\ \ ,\ \ x''=p'\ \ ,\\\\p'+p=1\ \ ,\ \ \ p'=1-p\ \ ,\ \ \ \dfrac{dp}{dt}=1-p\ \ ,\\\\\int \dfrac{dp}{1-p}=\int dt\ \ ,\ \ \ -ln|1-p|=t+C\ \ ,\ \ \dfrac{1}{1-p}=t+C_1\ \ ,\\\\\\1-p=\dfrac{1}{t+C_1}\ \ ,\ \ \ p=x'=1-\dfrac{1}{t+C_1}\ \ ,\ \ \dfrac{dx}{dt}=1-\dfrac{1}{t+C_1}\ \ ,\\\\\\\int dx=\int \Big(1-\dfrac{1}{t+C_1}\Big)\, dt\ \ ,\\\\\\\underline{\ x_{obshee}=t-ln|t+C_1|+C_2\ }$

$x(0)=0:\ \ \ 0=0-lnC_1+C_2\ \ ,\ \ \ C_2-lnC_1=0\ \ ,\ \ C_2=lnC_1\ ,\\\\x'(0)=1:\ \ x'=1-\dfrac{1}{t+C_1}\ \ ,\ \ 1=1-\dfrac{1}{C_1}\ \ ,\ \ \dfrac{1}{C_1}=0\ \ neverno\ !\ \ \Rightarrow$

Начальные условия заданы некорректно. Можно задать  $x'(0)=0$  .

$0=1-\dfrac{1}{C_1}\ \ ,\ \ \dfrac{1}{C_1}=1\ \ ,\ \ C_1=1\\\\\\C_2=lnC_1=ln1=0\\\\\\\underline{\ x_{chastnoe}=t-ln|\, t+1|\ }$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями, давайте обозначим x(t) как решение этого уравнения. Уравнение имеет вид:

x''(t) + x'(t) = 1

где x(0) = 0 и x'(0) = 1.

Давайте введем новую переменную, чтобы упростить уравнение. Обозначим x'(t) как y(t), тогда у нас будет система двух уравнений:

1. x'(t) = y(t) 2. y'(t) + x(t) = 1

С начальными условиями x(0) = 0 и y(0) = 1.

Давайте решим это уравнение методом разделения переменных. Умножим второе уравнение на y(t):

y'(t)y(t) + x(t)y(t) = y(t)

Теперь выразим y'(t)y(t) в виде производной по времени:

(d/dt)[(1/2)y(t)^2] + x(t)y(t) = y(t)

Теперь интегрируем обе стороны по времени:

(1/2)y(t)^2 + ∫x(t)y(t) dt = ∫y(t) dt

Добавим константу интеграции C к левой стороне:

(1/2)y(t)^2 + ∫x(t)y(t) dt - ∫y(t) dt = C

Теперь мы имеем уравнение, в котором мы интегрировали относительно t. Нам нужно решить x(t) и y(t) как функции времени t.

Для нахождения x(t) и y(t) мы можем продифференцировать обе стороны уравнения по t:

(d/dt)[(1/2)y(t)^2] + (d/dt)[∫x(t)y(t) dt] - (d/dt)[∫y(t) dt] = (d/dt)C

y(t)y'(t) + x(t)y(t) - y(t) = 0

Теперь мы видим, что у нас есть два уравнения:

1. (1/2)y(t)^2 + ∫x(t)y(t) dt - ∫y(t) dt = C 2. y(t)y'(t) + x(t)y(t) - y(t) = 0

Сначала решим второе уравнение. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя, чтобы привести его к более простому виду:

y(t)y'(t) + x(t)y(t) - y(t) = 0

Умножим обе стороны на интегрирующий множитель μ(t), чтобы получить точное дифференциальное уравнение:

μ(t)[y(t)y'(t) + x(t)y(t) - y(t)] = 0

Условие точности дает нам:

d/dt[μ(t)y(t)] + μ(t)x(t)y(t) - μ(t)y(t) = 0

Теперь выберем μ(t) так, чтобы μ(t)x(t) = 0, что означает μ(t) = 1/x(t). Тогда:

d/dt[y(t)/x(t)] + y(t)/x(t) - y(t) = 0

Теперь у нас есть разрешенное уравнение:

d/dt[y(t)/x(t)] + (1 - x(t))y(t)/x(t) = 0

Давайте решим это уравнение:

d/dt[y(t)/x(t)] + (1 - x(t))y(t)/x(t) = 0

d/dt[y(t)/x(t)] = (x(t) - 1)y(t)/x(t)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив y(t)/x(t) на одну сторону и t на другую:

d/dt[y(t)/x(t)] = (x(t) - 1)/x(t) * y(t)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны по t:

∫d/dt[y(t)/x(t)] dt = ∫(x(t) - 1)/x(t) * y(t) dt

ln|y(t)/x(t)| = ∫(x(t) - 1)/x(t) dt + C1

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y(t)/x(t)| = exp[∫(x(t) - 1)/x(t) dt + C1]

Используя свойства экспоненты, мы можем записать:

|y(t)/x(t)| = C * exp[∫(x(t) - 1)/x(t) dt]

Где C - это константа интегрирования.

Теперь вернемся к первому уравнению:

(1/2)y(t)^2 + ∫x(t)y(t) dt - ∫y(t) dt = C

Используя x'(t) = y(t), мы можем переписать это уравнение:

(1/2)y(t)^2 + ∫x(t)x'(t) dt - ∫x'(t) dt = C

(1/2)y(t)^2 + ∫x(t)x'(t) dt - x(t) + x(0) = C

Теперь мы можем заметить, что первое и второе слагаемые в левой части - это полные дифференциалы:

(1/2)y(t)^2 + d/dt[x(t)^2/2] - x(t) + x(0) = C

Теперь мы можем записать это как:

d/dt[x(t)^2/2] - x(t) + x(0) = C - (1/2)y(t)^2

Интегрируем обе стороны по t:

x(t)^2/2 - x(t) + x(0)t = ∫(C - (1/2)y(t)^2