Question

№352 Ю.М. Колягин , 10 класс. Доказать , что сумма биноминальных коэффициентов всех членов разложения бинома (х+a)^n равна 2^n. Максимально подробно .

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$(x+a)^n=2^n.\\(x+a)^n=\Sigma_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}a^k.$

Пусть х=1 и а=1.       ⇒

$(1+1)^n=2^n=\Sigma_{k=0}^nC_n^k*1^{n-k}*1^k=\Sigma_{k=0}^nC_n^k*1*1\\\Sigma_{k=0}^nC_n^k=2^n.$

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся биномиальной теоремой и формулой суммы биномиальных коэффициентов.

Биномиальная теорема гласит, что для любых чисел х и у, и натурального числа n, выполнено равенство: (x + y)^n = C(n, 0)x^n y^0 + C(n, 1)x^(n-1) y^1 + C(n, 2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n, n)x^0 y^n,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k!(n-k)!)

В нашем случае, у нас вместо переменной y у нас будет переменная a: (x + a)^n = C(n, 0)x^n a^0 + C(n, 1)x^(n-1) a^1 + C(n, 2)x^(n-2) a^2 + ... + C(n, n)x^0 a^n.

Мы хотим найти сумму всех биномиальных коэффициентов в этом разложении. То есть, нам нужно сложить все слагаемые в правой части этого равенства. Обозначим эту сумму S.

S = C(n, 0)x^n a^0 + C(n, 1)x^(n-1) a^1 + C(n, 2)x^(n-2) a^2 + ... + C(n, n)x^0 a^n.

Теперь мы можем использовать формулу суммы биномиальных коэффициентов: C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2^n.

Таким образом, наша сумма S равна 2^n:

S = 2^n.

Что и требовалось доказать.