Question

Решите неравенство (х²-3х-4)/(х(х+2)²) ≥0 и укажите наименьшее целое решение этого неравенства. ​

Answer 1

Ответ:

решаем числитель и знаменатель по отдельности.

x² - 3x - 4 = 0

D= 9+16= 25

x1 = -1 ; x2 = 4

x(x+2)²

x= 0 ; x ≠ 2

нули выводим на прямую:

 -       -      +        -          +

___•___•___•____•_____

    -2     -1      0        4

x∈[-1;0] ∪ [4; +∞)

x= -1 (наименьшее целое решение этого неравенства)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться методом интервалов (или методом знаков).

1) Найдем точки, в которых функция меняет знак, т.е. где числитель и знаменатель равны нулю.

a) Числитель равен нулю при x=4 и x=-1.

b) Знаменатель равен нулю при x=0 и x=-2.

Также, нам известно, что функция может менять знак только у точек разрыва. Это происходит в точках нулей числителя (4 и -1) и в точках разрыва знаменателя (0 и -2).

2) Построим таблицу знаков для интервалов, образованных этими точками:

-∞ -2 -1 0 4 +∞ f(x) - | + | - | + | - g(x) + |+| - | - | +

где f(x) - это функция (х²-3х-4)/(х(х+2)²), а g(x) - это ее знаменатель (х(х+2)²).

3) Посмотрим на интервалы, где f(x) ≥ 0, т.е. на интервалы, где f(x) имеет знак "+":

Отрицательное бесконечность (−∞) и точка -1: f(x) < 0

Точка -1 и точка 0: f(x) > 0

Точка 0 и точка 4: f(x) < 0

Точка 4 и положительное бесконечность (+∞): f(x) > 0

Теперь мы знаем, что f(x) ≥ 0 для интервалов (-1, 0) и (4, +∞).

4) Найти наименьшее целое значение x, для которого выполняется неравенство f(x) ≥ 0.

Из таблицы знаков мы видим, что f(x) ≥ 0, когда x принадлежит интервалам (-1, 0) и (4, +∞). Наиболее близкое значение x целочисленного типа на этих интервалах будет: x = 0 (на интервале (-1, 0)).

Таким образом, наименьшее целое решение данного неравенства - это x = 0.