Question

Решить дифференциальное уравнение (2x+y)dy=ydx+4 ln ydy, y(0)=1

Answer 1

Вот? Если нет то я не знаю:/

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод разделения переменных.

Исходное уравнение: (2x+y)dy=ydx+4ln(y)dy, y(0)=1.

Для начала, перепишем исходное уравнение, объединив все dy в одну часть и все dx в другую:

(2x+y-4ln(y))dy = ydx.

Теперь разделим переменные и вынесем все, что зависит только от x в левую часть, а от y — в правую:

(2x+y-4ln(y))/y dy = dx.

Проинтегрируем обе части уравнения:

∫(2x+y-4ln(y))/y dy = ∫dx.

Для интегрирования левой части разделим интеграл на две части:

∫(2x)/y dy + ∫(y-4ln(y))/y dy = ∫dx.

Первый интеграл:

∫(2x)/y dy = 2∫x/y dy = 2xln|y| + C1,

где C1 — постоянная интегрирования.

Второй интеграл:

∫(y-4ln(y))/y dy = ∫(1-4ln(y)/y) dy = ∫dy - 4∫ln(y)/y dy = y - 4∫ln(y) d(ln(y)). Рассмотрим последний интеграл:

∫ln(y) d(ln(y)) = ∫ln(y) dy/y = ∫ln(y)/y d(y) = ∫d(ln(y)^2)/2 = ln(y)^2/2 + C2,

где C2 — постоянная интегрирования.

Таким образом, второй интеграл:

∫(y-4ln(y))/y dy = y - 4(ln(y)^2)/2 + C2 = y - 2(ln(y))^2 + C2.

Возвращаясь к исходному уравнению, получаем:

2xln|y| - 2(ln(y))^2 + C1 = x + C3,

где C3 — постоянная интегрирования.

Учитывая начальное условие y(0) = 1, получаем:

2*0*ln|1| - 2(ln(1))^2 + C1 = 0 + C3, -2*0 + 2(0)^2 + C1 = C3, C1 = C3.

Следовательно, C1 = C3 = 0.

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения:

2xln|y| - 2(ln(y))^2 = x.

Это является общим решением уравнения, записанным в неявной форме. Для нахождения явного решения, необходимо решить это уравнение относительно y.