Question

Решите срочно 40 баллов Решить дифференциальное уравнение 2xdy=ydx если y=2 при x=1

Answer 1

2xdy=ydx,  x=1⇒y=2
dy/y=dx/2x
∫dy/y=∫dx/2x + C
ln /y/=(1/2).ln/x/ +C
y=eˇ(1/2.ln/x/) +C
y=(eˇln/x/)ˇ1/2 + C
y=xˇ(1/2) +C
C= y-√x=2-1=1
C=1
y=√x + 1 , x bolše čem 0

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Давайте начнем с записи уравнения:

2xdy = ydx

Чтобы разделить переменные, мы переместим все члены, содержащие dy, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие dx, на другую сторону:

dy/y = dx/(2x)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Для левой стороны мы получим:

∫(dy/y) = ∫dx/(2x)

Интегрируя, получаем:

ln|y| = ln|2x| + C

где C - постоянная интегрирования.

Перейдем к экспоненциальной форме логарифма:

|y| = e^(ln|2x| + C)

Так как константа интегрирования может быть любой, мы можем записать ее как e^C, где e - основание натурального логарифма.

|y| = e^(ln|2x|) * e^C

Упростим это выражение:

|y| = 2x * e^C

Так как e^C может быть любым положительным числом, мы можем записать его как новую константу K:

|y| = K * 2x

Теперь нам нужно рассмотреть два случая: когда y положительно и когда y отрицательно.

1. Когда y положительно:

y = K * 2x

Изначально у нас есть начальное условие, что y = 2 при x = 1. Подставим эти значения в уравнение:

2 = K * 2 * 1

Отсюда получаем:

K = 1

Таким образом, для случая, когда y положительно, решение имеет вид:

y = 2x

2. Когда y отрицательно:

y = -K * 2x

Снова подставим начальное условие:

2 = -K * 2 * 1

Отсюда получаем:

K = -1

Таким образом, для случая, когда y отрицательно, решение имеет вид:

y = -2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения 2xdy = ydx при y = 2 при x = 1 имеет два варианта:

y = 2x или y = -2x.

Проверим это, подставив значения обратно в исходное уравнение:

Для y = 2x:

2x * d(2) = 2 * dx

4x = 2dx

4x = 4x

Утверждение верно.

Для y = -2x:

2x * d(-2) = -2 * dx

-4x = -2dx

4x = 4x

Утверждение верно.

Таким образом, решение верно для обоих вариантов.