Question

Решить дифференциальное уравнение:a) x^2dy+ydx=0,y(1)=eб)y"-4y'+3y=0

Answer 1

Решение смотрите в pdf файле.

Answer 2

Решение дифференциального уравнения a)

Для решения дифференциального уравнения a) x^2dy + ydx = 0, y(1) = e, мы можем использовать метод разделяющих переменных.

1. Сначала перепишем уравнение в виде, удобном для применения метода разделяющих переменных: x^2dy + ydx = 0

2. Теперь разделим переменные, переместив все выражения с y на одну сторону и все выражения с x на другую сторону: dy/y = -dx/x^2

3. Интегрируем обе стороны уравнения: ∫dy/y = ∫-dx/x^2

Интегрируя, получим: ln|y| = 1/x + C1

Где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

4. Теперь найдем значение постоянной C1, используя начальное условие y(1) = e: Подставляем x = 1 и y = e в уравнение: ln|e| = 1/1 + C1 1 = 1 + C1 C1 = 0

Таким образом, получаем окончательное решение: ln|y| = 1/x

Применяя экспоненту к обеим сторонам, получаем: |y| = e^(1/x)

Так как y(1) = e, то y = e^(1/x) или y = -e^(1/x) являются решениями данного дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения b)

Для решения дифференциального уравнения b) y"-4y'+3y=0, мы можем использовать метод характеристического уравнения.

1. Сначала записываем характеристическое уравнение: r^2 - 4r + 3 = 0

2. Решаем это квадратное уравнение, находим его корни: (r - 1)(r - 3) = 0 r1 = 1, r2 = 3

3. Общее решение данного дифференциального уравнения будет иметь вид: y(x) = C1 * e^(r1*x) + C2 * e^(r2*x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные.

4. Используя начальные условия, мы можем найти значения постоянных C1 и C2. Однако, в вашем вопросе отсутствуют начальные условия. Если вы предоставите начальные условия, я смогу рассчитать значения постоянных и получить конкретное решение уравнения.

В общем случае, решение уравнения будет иметь вид: y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(3x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные.