Question

Найти первообразную f(x)=6/(5√4x+2)+1/cos^2(5x)

Answer 1

вот исправила баг......

Answer 2

Найдем первообразную от каждого слагаемого по отдельности:

1) Для функции f(x) = 6/(5√(4x+2)): Заметим, что в знаменателе есть выражение вида √(4x+2), которое приводит к идеи подстановки u = 2√(4x+2). Тогда, найдем производную u по x и решим относительно x: du/dx = 2(4x+2)' = 2*4 = 8 du = 8dx dx = du/8 Теперь заменим в нашей исходной функции все x на (u/8 - 1/2) и получим: f(x) = 6/(5√(4(u/8-1/2)+2)) = 6/(5√(u/2)) = 6/(5*(u^(1/2)/2)) = 6/(5u^(1/2)) = 6/(5*(2√(4x+2))^(1/2)) = 6/(5*2(4x+2)^(1/4)) = 3/(5(4x+2)^(1/4))

Теперь найдем первообразную от этого слагаемого: ∫(3/(5(4x+2)^(1/4)))dx = (3/5)∫(1/(2(4x+2)^(1/4)))dx

Замена: u = 4x + 2 du = 4dx dx = du/4

(3/5)∫(1/(2(4x+2)^(1/4)))dx = (3/5)∫(1/(2(u)^(1/4))) * (du/4) = (3/5)∫(1/(8u^(1/4)))du = (3/40) ∫u^(-1/4) du = (3/40)*(4u^(3/4)) + C1 = (3/10)u^(3/4) + C1 = (3/10)*(4x + 2)^(3/4) + C1

2) Для функции g(x) = 1/cos^2(5x): Заметим, что у нас есть функция вида cos^2(5x), которая имеет производную, равную -2cos(5x)sin(5x). Мы можем заметить, что производная sin(5x) это cos(5x), а cos(5x) входит в исходную функцию. То есть имеет место подстановка u = cos(5x), du = -5sin(5x)dx. Тогда, получим: g(x) = 1/u^2, du = -5sin(5x)dx, dx = -du/(5sin(5x))

∫(1/u^2)dx = ∫(-1/u^2)*(-du/(5sin(5x))) = (1/5)∫(1/u^2)*du = (1/5)(-u^(-1)) + C2 = (-1/5u) + C2

Теперь, для восстановления переменной, заменим u = cos(5x):

(-1/5u) + C2 = (-1/5/cos(5x)) + C2

Таким образом, первообразная от функции g(x) имеет вид -(1/5cos(5x)) + C2

Таким образом, первообразная от f(x) = 6/(5√(4x+2)) + 1/cos^2(5x) будет равна:

F(x) = (3/10)(4x + 2)^(3/4) - (1/5)cos(5x) + C,

где C = C1 + C2 - произвольные постоянные.