Question

Найдите множество точек координат.плоскости,удовлетворяющее уравнению2x^2+3y^2+4x-12y+14=0

Answer 1

$x( 4{x}^{2} + 4xy + xy + {y}^{2} ) = 0 \\ x(4x(x + y) + y(x + y)) = 0 \\ x(x + y)(4x + y) = 0$

это уравнение задаёт 3 прямые:

x=0

y=-x

y=-4x

Answer 2

Для начала давайте приведем уравнение плоскости к стандартному виду. Уравнение плоскости обычно имеет вид Ax + By + C = 0, где A, B и C - это коэффициенты, а x и y - переменные координаты.

В данном случае у нас есть уравнение 2x^2 + 3y^2 + 4x - 12y + 14 = 0. Давайте преобразуем его.

Сначала сгруппируем переменные x и y: 2x^2 + 4x + 3y^2 - 12y + 14 = 0.

Теперь выделим полные квадраты для переменных x и y: 2(x^2 + 2x) + 3(y^2 - 4y) + 14 = 0.

Завершим квадратные выражения, добавив недостающие слагаемые: 2(x^2 + 2x + 1) + 3(y^2 - 4y + 4) + 14 - 2 - 12 = 0.

Упростим это уравнение: 2(x + 1)^2 + 3(y - 2)^2 - 2 = 0.

Теперь у нас есть уравнение плоскости в стандартной форме. Из этого уравнения мы можем сделать несколько наблюдений:

1. Коэффициенты перед квадратными выражениями (2 и 3) являются положительными, что означает, что оба квадратных выражения представляют собой положительные значения. Это говорит нам о том, что у нас есть эллипс на плоскости.

2. Центр эллипса находится в точке (-1, 2).

3. Поскольку у нас нет дополнительных слагаемых, отличных от 0, это означает, что эллипс лежит на плоскости и не имеет наклона.

Итак, множество точек координат на плоскости, удовлетворяющее данному уравнению, представляет собой эллипс с центром в точке (-1, 2).